极限

极限

数列的极限

• 定义：若\lim\limits_{n \to \infty} x_n = a，则对任意\varepsilon > 0，存在正整数N，当n > N时，恒有|x_n - a| < \varepsilon。
• 注：
  • \varepsilon与N的作用；
  • 几何意义（如“当n足够大时，x_n落在以a为中心、半径为\varepsilon的邻域内”）；
  • 数列极限与前有限项无关；
  • \lim\limits_{n \to \infty} x_n = a 等价于奇数项子列和偶数项子列的极限均为 a，即 \lim\limits_{k \to \infty} x_{2k-1} = \lim\limits_{k \to \infty} x_{2k} = a。

函数的极限

自变量趋于无穷大时函数的极限

• 定义：若 \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = A，则对任意 \varepsilon > 0，存在 X > 0，当 x > X 时，恒有 |f(x) - A| < \varepsilon。
• 类似地，\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = A 定义为：对任意 \varepsilon > 0，存在 X > 0，当 x < -X 时，恒有 |f(x) - A| < \varepsilon。
• 而 \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = A 的等价定义：对任意 \varepsilon > 0，存在 X > 0，当 |x| > X 时，恒有 |f(x) - A| < \varepsilon。
• 定理：\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = A 等价于 \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = A。

自变量趋于有限值时函数的极限

函数在某点的极限：若对任意 ε > 0，存在 δ > 0，当 0 < |x - x₀| < δ 时，恒有 |f(x) - A| < ε，则称 \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A。

• 注：ε 具有任意性，δ 由 ε 唯一确定；
• 几何意义：当 x 无限靠近 x₀（但不等于 x₀）时，函数值 f(x) 无限接近 A；
• 该极限与函数在 x₀ 处的函数值 f(x₀) 无关。

左极限：\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0^-) = f(x_0 - 0)

右极限：\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0^+) = f(x_0 + 0)

定理：函数极限存在的充要条件为 limₓ→ₓ₀ f(x) = A 等价于左极限与右极限均为 A，即 \lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = A。

需分左右极限讨论的三种情况

分段函数在分界点处的极限
在该分界点两侧函数表达式不同，需分别计算左极限与右极限（仅两侧极限存在且相等时，函数在该点极限存在）。
e^\infty型极限（易错）
因底数中指数部分“∞”的方向（+∞或 -∞）不同，极限结果不同：

• 例：\lim_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x}} = +\infty（\frac{1}{x} \to +\infty），\lim_{x \to 0^-} e^{\frac{1}{x}} = 0（\frac{1}{x} \to -\infty）；
• 又如\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty，\lim_{x \to -\infty} e^x = 0。
  \arctan\infty型极限
  因反正切函数在u \to \pm\infty时的极限不同，需根据u的趋向方向（+∞/ -∞）分别讨论。
  反正切函数\arctan(u)的核心性质
• 定义域：u \in (-\infty, +\infty)；
• 值域：\arctan(u) \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})；
• 单调性：在定义域内严格单调递增，且是连续函数。
  极限本质：u \to +\infty与u \to -\infty时的趋向
• 当u \to +\infty时：由于\arctan(u)单调递增且上界为\frac{\pi}{2}，u无限增大时，\arctan(u)无限接近上确界\frac{\pi}{2}，即\lim_{u \to +\infty} \arctan(u) = \frac{\pi}{2}；
• 当u \to -\infty时：同理，\arctan(u)单调递增且下界为-\frac{\pi}{2}，u无限减小时，\arctan(u)无限接近下确界-\frac{\pi}{2}，即\lim_{u \to -\infty} \arctan(u) = -\frac{\pi}{2}。
  典型复合场景：含\arctan\left(\frac{1}{x}\right)的极限
  当x \to 0时，需分左右趋向分析：
• x \to 0^+（右侧趋向0）：\frac{1}{x} \to +\infty，故\lim_{x \to 0^+} \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2}；
• x \to 0^-（左侧趋向0）：\frac{1}{x} \to -\infty，故\lim_{x \to 0^-} \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{\pi}{2}；
  典型例子：\lim_{x \to \infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}或-\frac{\pi}{2}。
  更复杂的复合情形
  对一般函数u(x)，若u(x) \to +\infty（或-\infty），则：
  \lim_{x \to a} \arctan(u(x)) = \frac{\pi}{2}（或-\frac{\pi}{2}）；
• 例：u(x) = \frac{1}{x^2}（x \to 0时u(x) \to +\infty），则\lim_{x \to 0} \arctan\left(\frac{1}{x^2}\right) = \frac{\pi}{2}；
• u(x) = \ln(x)（x \to +\infty 时 u(x) \to +\infty），则 \lim_{x \to +\infty} \arctan(\ln(x)) = \frac{\pi}{2}。

极限性质

有界性

• 数列： 若数列 \{x_n\} 收敛（即 x_n \to A），则数列 \{x_n\} 一定有界。
  从定义角度，对任意\epsilon>0，存在N，当n>N时，|x_n - A| < \epsilon，即x_n落在(A-\epsilon, A+\epsilon)内，故有界。
• 函数： 若 \lim_{x \to x_0} f(x) 存在，则 f(x) 在 x_0 的某去心邻域内有界（即局部有界）。
  反例：f(x) = \sin\frac{1}{x} 在 x \to 0 时，虽有界但极限不存在。
  保号性
  极限与局部范围内函数（或数列）取值符号的关系
• 数列保号性： 若 \lim_{n \to \infty} x_n = A，当 A>0（或 A<0）时，存在正整数 N，当 n>N 时，x_n>0（或 <0）。
  注：若存在N，当n>N时x_n \geq 0（或\leq 0），则A \geq 0（或\leq 0）。但反过来，x_n>0（或<0）不能推出A>0（或<0），例如x_n=\frac{1}{n}，x_n>0但A=0。
• 函数保号性： 若 \lim_{x \to x_0} f(x) = A，当 A>0（或 A<0）时，存在 \delta>0，当 x \in \mathring{U}(x_0,\delta)（去心邻域）时，f(x)>0（或 <0）。
  注：若存在 \delta>0，当 x \in \mathring{U}(x_0,\delta) 时 f(x) \geq 0（或 \leq 0），则 A \geq 0（或 \leq 0）。但反过来，f(x)\geq 0（或 \leq 0）不能推出 A>0（或 <0），例如 f(x)=x^2，在 x=0 去心邻域内 f(x)>0，但 \lim_{x \to 0} f(x)=0。
  极限值与无穷小之间的关系
  若函数 f(x) 在某一极限过程下（如 x \to x_0）的极限存在且等于常数 A，则该函数可表示为“常数 A 与一个无穷小量之和”，反之亦然。具体可表示为：
  \lim f(x) = A \iff f(x) = A + \alpha(x)
  其中 \alpha(x) 满足 \lim \alpha(x) = 0，即 \alpha(x) 为该极限过程下的无穷小量。
• 无穷小量的核心特征：在自变量趋近于某值（如 x \to x_0）时，\alpha(x) 的取值会无限靠近0，且其绝对值可以变得任意小。例如，当 x \to 1 时，(x-1)、\sin(x-1) 均为无穷小量；当 n \to \infty 时，\frac{1}{n}、\frac{1+(-1)^n}{n} 也都是无穷小量。
• 这一等价关系本质上揭示了：函数的极限行为可以通过"一个固定的常数部分"和"一个可忽略的无穷小部分"来共同描述，其中无穷小部分的作用就是刻画函数值与极限值之间的微小差别。
  极限存在准则
  夹逼准则（迫敛性定理）
• 条件：设对于数列 \{x_n\}, \{y_n\}, \{z_n\}，存在正整数 N，当 n > N 时，满足不等式 x_n \leq y_n \leq z_n；且两个数列的极限存在且相等：\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} z_n = a。
• 结论：数列 \{y_n\} 的极限也存在，且 \lim_{n \to \infty} y_n = a。
• 拓展：常用于 n 项和形式的极限计算，通过对和式中每项的放缩，构造两个极限均为 a 的“夹逼数列”（如将 y_n 放大小于 z_n，缩小大于 x_n，且 x_n, z_n 极限相同）。
• 应用：使得分母一致化。

单调有界准则

• 核心内容：单调有界数列必有极限。
• 具体描述：
  • 若数列 \{x_n\} 单调递增（即 x_{n+1} \geq x_n 对所有 n 成立）且存在上界（即存在常数 M，使得 x_n \leq M 对所有 n 成立），则极限存在。
  • 若数列 \{x_n\} 单调递减（即 x_{n+1} \leq x_n 对所有 n 成立）且存在下界（即存在常数 m，使得 x_n \geq m 对所有 n 成立），则极限存在。
• 拓展：对于由递推关系 x_{n+1} = f(x_n) 定义的数列（如 x_1 已知，后续项由函数迭代生成），若先验证其单调性与有界性（如通过导数判断单调性，或观察项的取值范围），则可直接应用此准则判断极限是否存在。

无穷小量

无穷小的概念
若函数 f(x) 在自变量的某个变化过程（x \to x_0 或 x \to \infty）中，其极限为零，则称函数 f(x) 是该过程中的一个无穷小量（或简称无穷小）。

• 数学定义:
  \lim_{x \to x_0} f(x) = 0 \quad \text{或} \quad \lim_{x \to \infty} f(x) = 0
• 核心要点:
  • 无穷小是一个函数，而不是一个具体的、非常小的数。
  • 一个函数是否为无穷小，必须指明其对应的自变量变化过程。例如，f(x) = \frac{1}{x} 在 x \to \infty 时是无穷小，但在 x \to 0 时不是。
    无穷小的比较
    设 \alpha(x) 和 \beta(x) 是同一个自变量变化过程中的两个无穷小，即 \lim \alpha(x) = 0 且 \lim \beta(x) = 0。
• (1) 高阶无穷小 (Higher-order Infinitesimal)
  若 \lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0，则称 \alpha(x) 是比 \beta(x) 高阶的无穷小。
  • 记作: \alpha(x) = o(\beta(x))
  • 直观理解: \alpha(x) 比 \beta(x) 更快地趋近于0。
  • 示例: 当 x \to 0 时，因为 \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0，所以 x^2 是比 x 高阶的无穷小，记作 x^2 = o(x)。
• (2) 低阶无穷小 (Lower-order Infinitesimal)
  若 \lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \infty，则称 \alpha(x) 是比 \beta(x) 低阶的无穷小。
  • 直观理解: \alpha(x) 比 \beta(x) 更慢地趋近于0。
  • 示例: 当 x \to 0 时，因为 \lim_{x \to 0} \frac{x}{x^2} = \infty，所以 x 是比 x^2 低阶的无穷小。
• (3) 同阶无穷小 (Infinitesimals of the Same Order)
  若 \lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = C （其中 C 为不等于0的常数），则称 \alpha(x) 与 \beta(x) 是同阶无穷小。
  • 直观理解: \alpha(x) 与 \beta(x) 以相近的速率趋近于0。
  • 示例: 当 x \to 0 时，\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 2，所以 \sin(2x) 与 x 是同阶无穷小。
• (4) 等价无穷小 (Equivalent Infinitesimal)
  若 \lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1，则称 \alpha(x) 与 \beta(x) 是等价无穷小。
  • 记作: \alpha(x) \sim \beta(x)
  • 说明: 等价无穷小是同阶无穷小 (C=1) 的一种特殊情况，在求极限的运算中非常重要，常用于等价无穷小替换来简化计算。
  • 示例: 当 x \to 0 时，\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1，所以 \sin x \sim x。
• (5) k 阶无穷小 (Infinitesimal of order k)
  若 \lim \frac{\alpha(x)}{[\beta(x)]^k} = C （其中 C \neq 0, k > 0），则称 \alpha(x) 是关于 \beta(x) 的 k 阶无穷小。
  • 此概念可以更精确地描述高阶无穷小的“阶数”。
  • 示例: 当 x \to 0 时，\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}。因此，1-\cos x 是关于 x 的二阶无穷小。

无穷小的性质

有限个无穷小的和仍是无穷小

• 描述: 如果有有限个变量，在同一个极限过程中都是无穷小，那么它们的代数和也是无穷小。
• 数学表示:
  • 设在同一极限过程中，\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n 均为无穷小。
  • 则它们的和 S = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i = \alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_n 仍为无穷小。
  • 例如，若当 x \to a 时，\alpha(x) \to 0 且 \beta(x) \to 0，则 \alpha(x) + \beta(x) \to 0。
    有限个无穷小的积仍是无穷小
• 描述: 如果有有限个变量，在同一个极限过程中都是无穷小，那么它们的乘积也是无穷小。
• 数学表示:
  • 设在同一极限过程中，\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n 均为无穷小。
  • 则它们的积 P = \prod_{i=1}^{n} \alpha_i = \alpha_1 \cdot \alpha_2 \cdot \dots \cdot \alpha_n 仍为无穷小。
  • 例如，若当 x \to a 时，\alpha(x) \to 0 且 \beta(x) \to 0，则 \alpha(x) \cdot \beta(x) \to 0。

无穷小量与有界量的积仍是无穷小

• 描述: 在同一个极限过程中，一个无穷小量与一个有界变量的乘积是无穷小。
• 重要性: 这是无穷小运算中非常关键和常用的一条性质。
• 数学表示:
  • 设在某一极限过程中，\alpha(x) 是无穷小 (即 \lim \alpha(x) = 0)。
  • 设 f(x) 是一个有界函数，即存在常数 M > 0，使得在其极限过程的相应邻域内，始终有 |f(x)| \le M。
  • 则它们的积 \alpha(x) \cdot f(x) 仍是无穷小，即 \lim [\alpha(x) \cdot f(x)] = 0。
• 示例:
  • 考虑极限 \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}。
  • 这里，\frac{1}{x} 是当 x \to \infty 时的无穷小量。
  • \sin x 是一个有界函数，因为对于任意 x，都有 |\sin x| \le 1。
  • 根据本条性质，它们的乘积 \frac{1}{x} \cdot \sin x 是无穷小，因此 \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0。

无穷大量

无穷大量的概念：若函数f(x)在x趋向于某个特定值（如x \to x_0，或x \to \infty，即函数的自变量在某个变化过程中）时，其绝对值无限增大，就称f(x)为该过程下的无穷大量。
定义的精确表述：可通过“\varepsilon-\delta语言”（或对应“\varepsilon-X语言”，当x \to \infty时）刻画：对任意给定的M > 0（无论M多大，我们总可以找到一个范围），总存在\delta > 0（即存在靠近x_0的某个去心邻域），使得当0 < |x - x_0| < \delta时，恒有|f(x)| > M。
常见的无穷大量例子（以x \to x_0为例）：

• 当x \to 0时，\frac{1}{x}的绝对值|\frac{1}{x}|随x趋近于0无限增大，故\frac{1}{x}是x \to 0时的无穷大量；
• 当x \to 0时，\frac{1}{\sin x}因\sin x \to 0（此时分母趋近于0），其绝对值|\frac{1}{\sin x}|无限增大，也是x \to 0时的无穷大量；
• 当 x \to 0 时，e^{\frac{1}{x^2}} 的指数部分 \frac{1}{x^2} \to +\infty，故 e^{\frac{1}{x^2}} \to +\infty，同样是 x \to 0 时的无穷大量。

常用无穷大量的比较

无穷大量的“大小”（或“速度”）取决于其随自变量趋向无穷时的增长速率——不同类型的函数会表现出不同的增长特性，常用“\ll”符号表示前者“远快于”后者（即增长速度差异极大）。
当 x \to +\infty 时的无穷大量比较

设\alpha>0, \beta>0, a>1，则无穷大量的增长速度顺序为：
\ln^\alpha x \ll x^\beta \ll a^x

• 含义：对数函数的幂（\ln^\alpha x）相对于代数函数x^\beta增长最慢，代数函数又远慢于指数函数a^x（a>1）。
• 直观理解：对数函数增长极慢（如\ln x随x增大增幅越来越小），代数函数（如x, x^2）次之，指数函数（如2^x, e^x）增长速度远超过多项式，且a>1越大，指数函数增长越快。
• 极限例证：例如\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^\beta} = 0（说明\ln x \ll x^\beta），\lim_{x \to +\infty} \frac{x^\beta}{a^x} = 0（说明x^\beta \ll a^x）。
  当 n \to \infty 时的无穷大量比较（n 为正整数）
  设\alpha>0, \beta>0, a>1，则无穷大量的增长速度顺序为：
  \ln^\alpha n \ll n^\beta \ll a^n \ll n! \ll n^n
• 含义：与x \to +\infty类似，但多了阶乘和n次幂的比较。对数函数的幂（\ln^\alpha n）最慢，接着是代数函数n^\beta，然后是指数函数a^n，阶乘n!（1 \times 2 \times \cdots \times n）增长更快，最后是n^n（n的n次幂）增长速度最快。
• 直观理解：n!的增长在指数函数之上（例如a^n与n!相比，n!约为n^n / e^n \sqrt{2\pi n} ，比n^n略小，但远快于a^n），而n^n的增长为所有中最快的（例如2^n vs n! vs n^n，n^n随n增大远快于n!）。
• 极限例证：例如 \lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{\sqrt{n}} = 0（\ln n \ll n^{0.5}，即 \ln^\alpha n \ll n^\beta），\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n!} = 0（2^n \ll n!），\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} = 0（n! \ll n^n）。

无穷大量的性质

两个无穷大量的积仍是无穷大量
在同一极限过程（如x \to x_0或x \to \infty）中，若函数f(x)和g(x)都是无穷大量，则它们的乘积f(x)g(x)仍是该过程下的无穷大量。因为无穷大量绝对值会无限增大，其乘积的绝对值自然也能超过任意给定的正数M。例如，当x \to 0时，\frac{1}{x}是无穷大量，其与自身的乘积\frac{1}{x^2}仍是x \to 0时的无穷大量（绝对值随x趋近于 0 而无限增大）。
无穷大量与有界变量之和仍是无穷大量
在同一极限过程中，若函数 f(x) 是无穷大量，g(x) 是有界变量（即存在常数 M > 0，使得在该过程中 |g(x)| \leq M），则 g(x) 与 f(x) 的和 f(x) + g(x) 仍是无穷大量。这是因为无穷大量 f(x) 的绝对值能无限增大，而有界变量 g(x) 的绝对值有上限 M，两者之和的绝对值会大于 | |f(x)| - M |（当 |f(x)| 足够大时），从而整体能超过任意给定的正数。例如，当 x \to \infty 时，x 是无穷大量，\sin x 是有界变量（|\sin x| \leq 1），则 x + \sin x 仍是无穷大量，因为 x 的无限增长会主导整体变化，和的绝对值随 x 增大无限增大。

无穷大量与无穷小量的关系

在微积分中，无穷大量与无穷小量是刻画函数趋势的重要概念，二者存在密切的倒数关系，且需在同一极限过程（如x \to x_0或x \to \infty）中讨论：
无穷大量的倒数是无穷小量
若在某极限过程中，函数f(x)为无穷大量（即|f(x)|随自变量变化无限增大），则其倒数\frac{1}{f(x)}必为该过程下的无穷小量。

• 直观逻辑：因|f(x)|无限增大，\left| \frac{1}{f(x)} \right| = \frac{1}{|f(x)|}会无限趋近于0，满足无穷小量的定义（可小于任意给定的正数\varepsilon）。
• 例子：当x \to 0时，f(x) = \frac{1}{x}是无穷大量，其倒数\frac{1}{f(x)} = x，而x \to 0，即x是x \to 0时的无穷小量。
  无穷小量（非零）的倒数是无穷大量
  若在某极限过程中，函数f(x)为无穷小量（即|f(x)|随自变量变化无限趋近于0），且f(x) \neq 0（确保倒数有意义），则其倒数\frac{1}{f(x)}必为该过程下的无穷大量。
• 直观逻辑：因|f(x)|无限趋近于0，\left| \frac{1}{f(x)} \right| = \frac{1}{|f(x)|}会无限增大，满足无穷大量的定义（可大于任意给定的正数M）。
• 例子：当x \to 0时，f(x) = x是无穷小量（且x \neq 0），其倒数\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{x}，而\frac{1}{x} \to \infty，即\frac{1}{x}是x \to 0时的无穷大量。

注意

该关系的核心条件是 "同一极限过程"，即若 f(x) 在 x \to x_0 时是无穷大量 / 小量，则其倒数的性质需在 x \to x_0 的过程中讨论，不可跨过程比较。

求极限

利用基本极限求极限

常用的基本极限

• \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1：当x趋近于0时，三角函数\sin x与自变量x的比值极限为1，是等价无穷小替换的重要基础。
• \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e 和 \lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e：两个形式的“第二个重要极限”，核心特征为“1+无穷小”的形式与底数和指数互为倒数（当t \to 0时，(1+t)^{\frac{1}{t}} \to e，替换t = \frac{1}{x}可得第二个极限）。
• \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a：指数函数 a^x 在 x=0 处的“变化率”。
• \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 和 \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1（a > 0）：n次方根的极限性质，例如\sqrt[n]{a} = e^{\frac{\ln a}{n}}，当n \to \infty时，\frac{\ln a}{n} \to 0，故结果为1。
• 多项式（有理函数）当x \to \infty时的极限：设分子为n次多项式a_n x^n + \dots + a_0，分母为m次多项式b_m x^m + \dots + b_0，则：
  • n = m时，极限为\frac{a_n}{b_m}；
  • n < m时，极限为0；
  • n > m时，极限为\infty。
• 数列极限\lim_{n \to \infty} x^n：
  • |x| < 1时，极限为0（\infty的倒数）；
  • |x| > 1时，极限为\infty（指数增长趋势）；
  • x = 1时，极限为1（恒为1）；
  • x = -1时，极限不存在（(-1)^n在1和-1之间摆动）。
• 指数函数极限 \lim_{n \to \infty} e^{nx} = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ \infty, & x > 0, \\ 1, & x = 0. \end{cases}：当 x > 0，nx \to \infty，e^{nx} \to \infty；当 x < 0，nx \to -\infty，e^{nx} = \frac{1}{e^{-nx}} \to 0；x=0 时，e^0 = 1。

1^\infty型极限的处理思路

当极限形式为(1+\alpha(x))^{\beta(x)}，且满足：

• \lim\alpha(x) = 0（即底数中\alpha(x)部分趋近于0），
• \lim\beta(x) = \infty（即指数\beta(x)部分趋近于无穷大），
  此时称为“1^\infty”型未定式，此时有性质

关键转化逻辑（原理）：
利用自然指数的性质：(1+\alpha)^\beta = e^{\beta \ln(1+\alpha)}。
当\alpha \to 0时，\ln(1+\alpha) \sim \alpha（等价无穷小替换），因此指数部分可近似为\beta \cdot \alpha。
若记A = \lim \alpha(x)\beta(x)，则原极限可转化为：

实际计算步骤：

1. 确认标准形式：将所求极限写为\lim [1+\alpha(x)]^{\beta(x)}，并验证\alpha(x) \to 0，\beta(x) \to \infty。
2. 计算乘积极限：求出A = \lim \alpha(x)\beta(x)（需明确\alpha(x)与\beta(x)的表达式，通过代数运算或等价替换化简极限）。
3. 得出结果：直接由e^A得到最终极限值。

利用等价无穷小代换求极限

代换原则

乘除关系可以换

• 若\alpha\sim\alpha_1，\beta\sim\beta_1（即\alpha与\alpha_1为等价无穷小，\beta与\beta_1为等价无穷小），则乘除运算中可直接代换：
  \lim \frac{\alpha}{\beta} = \lim \frac{\alpha_1}{\beta} = \lim \frac{\alpha}{\beta_1} = \lim \frac{\alpha_1}{\beta_1}
  • 例如：当x \to 0时，\sin 2x\sim 2x，\sin x\sim x，则乘除时可代换为\lim \frac{\sin 2x}{\sin x} = \lim \frac{2x}{x} = 2（注意：此处仅适用于乘除，不能用于加减）
    加减关系在一定条件下可以换
• 减法情况：若\alpha\sim\alpha_1，\beta\sim\beta_1，且\lim \frac{\alpha_1}{\beta_1} \neq 1（即\alpha_1与\beta_1的比值不为1），则减法可代换：
  \alpha - \beta \sim \alpha_1 - \beta_1
• 加法情况：若\alpha\sim\alpha_1，\beta\sim\beta_1，且\lim \frac{\alpha_1}{\beta_1} \neq 1，则加法可代换：
  \alpha + \beta \sim \alpha_1 + \beta_1
  • 关键条件：仅在\lim \frac{\alpha_1}{\beta_1} \neq 1时才能代换；若\lim \frac{\alpha_1}{\beta_1} = 1（例如x \to 0时，\sin x\sim x，\tan x\sim x，此时\lim \frac{x}{x}=1），则\alpha-\beta（如\sin x - \tan x）为等价无穷小的差，不可直接代换为0。

常用等价无穷小

• x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim \ln(1+x) \sim e^x - 1;
• a^x - 1 \sim x \ln a（其中 a > 0, a \neq 1）;
• (1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x（\alpha 为常数，如整数、分数等）;
  • 等价无穷小替换结论：
    当 x \to 0 时，若 \alpha(x) \to 0 且 \alpha(x) \beta(x) \to 0，则有近似关系：$$
    (1 + \alpha(x))^{\beta(x)} - 1 \sim \alpha(x) \beta(x)
• 1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2;
  高阶等价
• x - \sin x \sim \frac{1}{6}x^3;
• \arcsin x - x \sim \frac{1}{6}x^3;
• \tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3;
• x - \arctan x \sim \frac{1}{3}x^3;
• x - \ln(1+x) \sim \frac{1}{2}x^2;
  此处常用结论：遇到幂指函数时，根据恒等式 a^b = e^{b\ln a}（其中 a > 0，a \neq 1），将幂指函数改写为以 e 为底的指数形式：[f(x)]^{g(x)} = e^{g(x)\ln f(x)}

利用有理运算法则求极限

有理运算法则是求极限的基础工具，其核心前提是两个函数的极限均存在。若 \lim f(x) = A，\lim g(x) = B，则：

• \lim (f(x) \pm g(x)) = \lim f(x) \pm \lim g(x)（和/差的极限等于极限的和/差）；
• \lim (f(x) \cdot g(x)) = \lim f(x) \cdot \lim g(x)（积的极限等于极限的积）；
• \lim\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}（商的极限等于极限的商，需满足 B \neq 0）。

1. 若两个函数的极限中存在“不存在”的情况，运算结果需具体分析：
   • 存在极限与不存在极限进行加减，结果不存在；
   • 两个或多个不存在的极限进行加减、乘除，结果不一定（需结合函数性质具体判断）。
2. 商的运算中需特别注意分母极限不能为0，否则无法直接应用法则。

常用结论

非零因子的极限分离
当 \lim f(x) = A \neq 0 时，乘积 f(x)g(x) 的极限可将非零因子 f(x) 的极限先提出单独计算，即\lim [f(x)g(x)] = A \cdot \lim g(x)。
例如：若 x \to 0 时 (1+x) \to 1 \neq 0，则 \lim_{x \to 0} (1+x)g(x) = \lim_{x \to 0}(1+x) \cdot \lim g(x) = 1 \cdot \lim g(x)。
分式极限存在时分子的隐含条件
若 \lim \frac{f(x)}{g(x)} 存在，且 \lim g(x) = 0，则 \lim f(x) = 0。
原因：若 \lim f(x) = B \neq 0 且 \lim g(x) = 0，分式极限会趋向 \infty 或无确定值，与“极限存在”矛盾。
注意：若 \lim g(x) 本身不存在（如振荡），即使 \lim f(x) = 0，分式极限也可能不存在。例如 f(x) = x^2，g(x) = \sin\frac{1}{x}，x \to 0 时 \frac{x^2}{\sin\frac{1}{x}} 振荡。
分式为非零常数时分母的关键条件
若 \lim \frac{f(x)}{g(x)} = A \neq 0，且 \lim f(x) = 0，则 \lim g(x) = 0。
推导：假设 \lim g(x) = B \neq 0，则分式极限 \frac{0}{B} = 0，与 A \neq 0 矛盾。故分母 g(x) 必须趋向 0。

洛必达法则

核心条件

设 \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = 0（或 \infty），且满足：

• f(x), g(x) 在 x_0 的某去心邻域内可导，且 g'(x) \neq 0；
• \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} 存在（或为 \infty），
  则 \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}。

适用的不定式类型

洛必达法则主要解决以下 7 种基本不定式：

• 分式型：\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}；
• 乘积型：0 \cdot \infty（可转化为 \frac{0}{1/\infty} 或 \frac{\infty}{1/0}，进而变为 \frac{0}{0}/\frac{\infty}{\infty}）；
• 差量型：\infty - \infty（通过通分或有理化转化为分式形式）；
• 指数型：1^\infty, \infty^0, 0^0（需先取指数：[f(x)]^{g(x)} = e^{g(x)\ln f(x)}，将指数部分转化为 0 \cdot \infty 型）。

解题思路转化路径

\frac{0}{0}/\frac{\infty}{\infty} \rightarrow 0 \cdot \infty/\infty - \infty \rightarrow 1^\infty/\infty^0/0^0（前两类直接用洛必达法则，指数型需先通过取对数转化为 0 \cdot \infty 型后再应用法则）。

指数型不定式处理关键

对 1^\infty, \infty^0, 0^0 型，先取自然对数：
[f(x)]^{g(x)} = e^{g(x)\ln[f(x)]}，转化为 g(x)\ln[f(x)]，此时 g(x) \ln[f(x)] 一般为 0 \cdot \infty 型，可进一步通分或取倒数转化为 \frac{0}{0} 或 \frac{\infty}{\infty} 型后使用洛必达法则。

泰勒公式

当函数 f(x) 在 x = x_0 处有 n 阶导数时，泰勒公式将 f(x) 在 x_0 附近展开为多项式与高阶无穷小的和，即：

其中，o(x-x_0)^n 表示当 x \to x_0 时比 (x - x_0)^n 高阶的无穷小，用于描述展开式的精度。

常用泰勒展开公式（均以 x_0 = 0，即麦克劳林公式为例）

• 指数函数 e^x：

展开至 x^n 项，余项为 x^n 阶的高阶无穷小。

• 正弦函数 \sin x：

展开至 x^{2n-1} 项，余项为 x^{2n} 阶的高阶无穷小（奇函数，仅含奇次幂）。

• 余弦函数 \cos x：

展开至 x^{2n} 项，余项为 x^{2n} 阶的高阶无穷小（偶函数，仅含偶次幂）。

• 自然对数 \ln(1 + x)：

展开至 x^n 项，余项为 x^n 阶的高阶无穷小（定义域 x > -1）。

• 幂函数 (1 + x)^\alpha（\alpha 为常数）：

展开至 x^n 项，余项为 x^n 阶的高阶无穷小（二项式定理的推广）。
为什么 o(x^n) 能在公式中被化简（举例）：
o(x^4)（高阶无穷小）的严格定义为：若\lim_{x \to 0}\frac{o(x^4)}{x^4} = 0，则当x \to 0时，o(x^4)是比x^4更快趋向于 0 的无穷小量。

• 例如，当x \to 0时：
  • x^4（与分母同阶）、x^5（比x^4高阶）、\sin x - x（泰勒展开后含x^3项，仍高于x^4）等，均可记为o(x^4)。
    分子\cos x - e^{-x^2/2}展开后为：

分母为x^4，整个分式为：

• 核心逻辑：当x \to 0时，\frac{o(x^4)}{x^4} \to 0（由高阶无穷小定义），因此可忽略o(x^4)项，仅剩-\frac{1}{12}。
• 类比解释：若分子为“A + \text{无穷小量}”，当除以一个趋于0的量（如分母为 x^4）时，“无穷小量除以分母”的结果仍是无穷小（趋于0），不影响主项 A 的极限值。

夹逼定理

通过找到两个具有相同极限的数列，将目标和式“夹”在中间，从而确定原极限。
常用结论：求 \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n}，其中 a_i > 0（i=1,2,\cdots,m）。
设 a = \max\{a_i\}，即 a 是各 a_i 中的最大值。

• 由于每个 a_i \leq a，对其取 n 次方后有 a_i^n \leq a^n，故所有项之和满足 a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n \leq m \cdot a^n（因共 m 项，每项不超过 a^n）。
• 同时，因至少存在一项 a_m^n = a^n，其他项非负，故总和满足 a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n \geq a^n。
  对不等式 a^n \leq \sum_{i=1}^m a_i^n \leq m a^n 两边开 n 次方根，得：
  a \leq \sqrt[n]{\sum_{i=1}^m a_i^n} \leq \sqrt[n]{m} \cdot a
  当 n \to \infty 时，\sqrt[n]{m} = m^{1/n} \to 1（m 为固定正数），因此两侧极限均趋向 a。
  因此，可以得出 \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n} =a
  人话：极值等于数列中底数大的那一个

利用单调有界准则求极限

设 x_1>0，数列满足递推关系 x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{1}{x_n}\right)（n=1,2,\cdots），求极限 \lim_{n \to \infty} x_n。

证明数列有界

由题设 x_n>0，根据均值不等式：对正实数 a,b，有 \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}。
令 a=x_n，b=\frac{1}{x_n}，则：

因此，x_{n+1} \geq 1，即数列 \{x_n\} 有下界 1。

证明数列单调递减

计算相邻两项的差：

因 x_n \geq 1（已证有界），故 x_n^2 \geq 1，即 1 - x_n^2 \leq 0，且分母 2x_n > 0。
因此：

即数列 \{x_n\} 单调递减。
数列单调递减且有下界，根据单调有界准则，\lim_{n \to \infty} x_n 存在。

求极限值

设\lim_{n \to \infty} x_n = a，因数列\{x_n\}收敛（由单调有界准则可得），对递推式x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{1}{x_n}\right)两边同时取极限：

由于\lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} x_n = a，且\lim_{n \to \infty} \frac{1}{x_n} = \frac{1}{a}，代入上式得：

两边同乘2a（a \neq 0，因x_n > 0），化简后得：

结合数列有界性（x_n \geq 1），故 a = 1。从而 \lim_{n \to \infty} x_n = 1。

利用定积分定义求极限

求极限 \lim\limits_{n \to \infty}\left[\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right]
思路
定积分定义的核心是将和式极限转化为积分形式，其一般形式为：\lim\limits_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta x，其中：

• \Delta x是小区间长度，\Delta x = \frac{b - a}{n}（b - a为积分区间长度）；
• x_k是第k个小区间的端点（通常取左端点、右端点或中点，当n \to \infty时差异可忽略）；
• f(x)是被积函数。
  步骤

1. 变形和式
   直接观察原式\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n}，提取公因子\frac{1}{n}，改写为：
   \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n}\left[\frac{1}{1+\frac{1}{n}}+\frac{1}{1+\frac{2}{n}}+\cdots+\frac{1}{1+\frac{n}{n}}\right]

2. 对应定积分各要素

   • 公因子\frac{1}{n}对应\Delta x = \frac{1 - 0}{n} = \frac{1}{n}，因此积分区间为[0, 1]（b - a = 1）；
   • 每一项\frac{1}{1+\frac{k}{n}}对应被积函数f(x_k) = \frac{1}{1+x}，其中x_k = \frac{k}{n} = 0 + k \cdot \Delta x（取右端点）；
     综上，原极限等价于定积分\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}dx。

3. 计算定积分
   \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}dx = \ln|1+x| \bigg|_{0}^{1} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2
   关键要点

• 和式中需明确区分“\Delta x”与“各项的公共因子”；
• 通过变量替换（如令x_k = \frac{k}{n}），将离散的k与连续的x对应起来，从而转化为定积分。
  （注：严格推导中需验证和式与定积分定义的一致性，通常对小区间取点方式（左/右端点）不影响极限结果，可直接依据直观变形建立联系。）

无穷小量阶的比较

例：当 x \to 0 时，\alpha(x) = kx^2 与 \beta(x) = \sqrt{1 + x \arcsin x} - \sqrt{\cos x} 是等价无穷小，求 k。

思路

1. 等价无穷小的定义：若 \alpha(x) 与 \beta(x) 是等价无穷小，则 \lim_{x \to 0} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = 1，即：

2. 分子有理化：分子为两个二次根式的差，同乘有理化因式 \sqrt{1 + x \arcsin x} + \sqrt{\cos x}，利用平方差公式化简分子：

3. 分母极限计算：当 x \to 0 时，\sqrt{1 + x \arcsin x} \to \sqrt{1} = 1，\sqrt{\cos x} \to \sqrt{1} = 1，故分母整体趋于 2，可提出常数项：

4. 拆分分子并等价无穷小替换：
   • 当 x \to 0 时，\arcsin x \sim x（等价无穷小），故 x \arcsin x \sim x^2；
   • 当 x \to 0 时，1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2（等价无穷小，基于泰勒展开）。
     将分子拆为 x \arcsin x 与 1 - \cos x，分别求极限：

5. 合并结果：两项极限之和为 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}，代入原式得：

拓展：等价无穷小替换是极限计算中简化表达式的重要工具，常见等价无穷小（x \to 0 时）：

• \arcsin x \sim x，\arctan x \sim x，\sin x \sim x，\tan x \sim x；
• 1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2，x - \ln(1 + x) \sim \frac{1}{2}x^2；
• e^x - 1 \sim x，a^x - 1 \sim x \ln a（a > 0, a \neq 1）。