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三角函数

三角函数基本关系与公式

六个三角函数及其分类
常用的六个三角函数可按其性质分为 "弦"、"切"、"割" 三类：

弦：正弦(sin x)、余弦(cos x)
切：正切(tan x)、余切(cot x)
割：正割(sec x)、余割(csc x)

这些三角函数之间的关系可通过一个六边形图示来直观表示和记忆，六边形的顶点按特定顺序排列六个三角函数，通过图形中的位置关系可以快速推导出它们之间的基本关系。

三角函数基本关系

对角线倒数关系
在六边形图示中，处于对角线位置的两个三角函数互为倒数，其乘积等于 1：
$\sec x = \frac{1}{\cos x}$ ， $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ ， $\cot x = \frac{1}{\tan x}$

商数关系
沿六边形的顺（逆）时针方向，前一个三角函数等于后两个三角函数的商：
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ （正切等于正弦比余弦）
$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ （余切等于余弦比正弦）

平方和关系（"倒三角形" 关系）
在六边形中可构成三个倒三角形，每个三角形的两个 "底角" 三角函数的平方和等于 "顶角" 三角函数的平方：
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ （以 sin x 和 cos x 为底，1 为顶）
$\tan^2 x + 1 = \sec^2 x$ （以 tan x 和 1 为底，sec x 为顶）
$\cot^2 x + 1 = \csc^2 x$ （以 cot x 和 1 为底，csc x 为顶）

倍角公式初步
倍角公式描述了角的倍数与三角函数值之间的关系：
$\sin 2x = 2\sin x \cos x$ （正弦二倍角公式）
$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ （余弦二倍角公式的基本形式）

降次公式
用于将三角函数的平方项降为一次幂，便于积分或化简：
$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ （正弦降次公式）
$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ （余弦降次公式）

辅助角公式
将 $a\sin x + b\cos x$ 型表达式合并为单一三角函数：
$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \varphi)$ ，其中辅助角 $\varphi$ 满足 $\tan\varphi = \frac{b}{a}$ 。

特别示例： $\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ （此时 $a=1$ ， $b=1$ ， $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2}$ ， $\tan\varphi = 1$ ，故 $\varphi = \frac{\pi}{4}$ ）

和角公式（积化和差 / 和差化积）
描述两个角的和 / 差的三角函数展开式：
$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$
$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$
$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$
$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

复合函数

设 $y = f(u)$ 的定义域为 $D_f$ ， $u = g(x)$ 的定义域为 $D_g$ ，值域为 $R_g$
若 $D_f \cap R_g \neq \emptyset$ ，则称 $y = f[g(x)]$ 为 $y = f(u)$ 与 $u = g(x)$ 的复合函数
复合函数的定义域为 $\{ x \mid x \in D_g,\ g(x) \in D_f \}$
不是任何两个函数都可以复合，如 $y = f(u) = \ln u$ ， $u = g(x) = \sin x - 1$ 就不能复合：
因为 $D_f = (0, +\infty)$ ， $R_g = [-2, 0]$ ，所以 $D_f \cap R_g = \emptyset$

反函数

设函数 $y = f(x)$ 的定义域为 $D$ ，值域为 $R_y$ 。若对任意 $y \in R_y$ ，有唯一确定的 $x \in D$ ，使得 $y = f(x)$ ，则记为 $x = f^{-1}(y)$ ，称其为函数 $y = f(x)$ 的反函数。
注：
1. 不是每个函数都有反函数，如 $y = x^3$ 有反函数，而 $y = x^2$ （定义域为全体实数）没有反函数。
2. 单调函数一定有反函数，但反之不成立，例如：

f(x)=\begin{cases} x, & 0 \leq x < 1, \\ 3 - x, & 1 \leq x \leq 2 \end{cases}

有反函数，但其在定义域上不单调。

初等函数

将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数，需了解它们的定义域、性质及图形。

幂函数： $y = x^\mu$ （ $\mu$ 为实数）；
指数函数： $y = a^x$ （ $a > 0, a \neq 1$ ）；
对数函数： $y = \log_a x$ （ $a > 0, a \neq 1$ ）；
三角函数： $y = \sin x$ ， $y = \cos x$ ， $y = \tan x$ ， $y = \cot x$ ；
反三角函数： $y = \arcsin x$ ， $y = \arccos x$ ， $y = \arctan x$ 。

由常数和基本初等函数经过有限次加、减、乘、除及复合运算所得到，且能用一个解析式表示的函数，称为初等函数。

函数基本性质

单调性

若区间 $I$ 上任意两点 $x_1 < x_2$ 恒有 $f(x_1) < f(x_2)$ ，称函数在 $I$ 上单调增加；恒有 $f(x_1) > f(x_2)$ ，称单调减少。

奇偶性

设函数 $y = f(x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称，对 $\forall x \in D$ ：

$f(-x) = f(x)$ 为偶函数；
$f(-x) = -f(x)$ 为奇函数。

常见奇函数： $\sin x, \tan x, \arcsin x, \arctan x, \ln \frac{1-x}{1+x}, \ln(x+\sqrt{1+x^2}), \frac{e^x -1}{e^x +1}$

常见偶函数： $x^2, |x|, \cos x, f(x) + f(-x)$

奇函数的图形关于原点对称，且若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处有定义，则 $f(0)=0$ ；偶函数的图形关于 $y$ 轴对称。

奇偶函数的四则运算性质：奇 + 奇 = 奇；偶 + 偶 = 偶；奇×奇 = 偶；偶×偶 = 偶；奇×偶 = 奇。

周期性

若存在实数 $T > 0$ ，对于任意 $x$ ，恒有 $f(x+T) = f(x)$ ，则称 $y = f(x)$ 为周期函数。使得上式成立的最小正数 $T$ 称为最小正周期，简称为函数 $f(x)$ 的周期。

$\sin x, \cos x$ 周期 $2\pi$ ； $\sin 2x, |\sin x|$ 周期 $\pi$ 。
若 $f(x)$ 以 $T$ 为周期，则 $f(ax + b)$ 以 $\frac{T}{|a|}$ 为周期。

有界性

若存在 $M > 0$ ，使得对任意的 $x \in X$ ，恒有 $|f(x)| \leq M$ ，则称 $f(x)$ 在 $X$ 上为有界函数（等价于有上界且有下界）。

无界函数
如果对任意的 $M > 0$ ，至少存在一个 $x_0 \in X$ ，使得 $|f(x_0)| > M$ ，则 $f(x)$ 为 $X$ 上的无界函数。

$f(x)$ 在 $X$ 上为有界函数。
常见的有界函数： $|\sin x| \leq 1$ ； $|\cos x| \leq 1$ ； $|\arcsin x| \leq \frac{\pi}{2}$ ； $|\arctan x| < \frac{\pi}{2}$ ； $|\arccos x| \leq \pi$ 。