向量代数与空间解析几何

向量代数

数量积

几何表示：向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的数量积（点积）是一个标量，定义为 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\alpha$ ，其中 $\alpha$ 为两向量的夹角（ $0 \leq \alpha \leq \pi$ ）。
代数表示：在空间直角坐标系中，若 $\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)$ ， $\mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z)$ ，则数量积的坐标表达式为 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z$ 。
运算规律：
- 交换律： $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$ ，即两向量的数量积与运算顺序无关。
- 分配律： $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$ ，可推广至多个向量的和。
几何应用：
- 求向量模长：向量 $\mathbf{a}$ 的模（长度）可通过 $|\mathbf{a}| = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}}$ 计算，即向量与自身数量积的算术平方根。
- 求两向量夹角：利用 $\cos\alpha = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$ 可确定夹角 $\alpha$ 的余弦值，进而判断向量的方向关系（如锐角、钝角）。
- 判断垂直关系：两非零向量 $\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$ 的充要条件是 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$ ，即数量积为零。

向量积

几何表示：向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的向量积（叉积） $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 是一个向量，其模为 $|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\alpha$ （ $\alpha$ 为两向量夹角），方向由右手法则确定：右手四指从 $\mathbf{a}$ 绕向 $\mathbf{b}$ （转角小于 $\pi$ ），拇指指向即为 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 的方向。
代数表示：在空间直角坐标系中，向量积可通过行列式表示：
$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$
展开后为 $(a_yb_z - a_zb_y)\mathbf{i} + (a_zb_x - a_xb_z)\mathbf{j} + (a_xb_y - a_yb_x)\mathbf{k}$ ，其中 $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 为坐标轴单位向量。
运算规律：
- 反交换律： $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ ，即交换向量位置会改变结果方向。
- 分配律： $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ ，满足对加法的分配性。
几何应用：
- 构造垂直向量： $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 是同时垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的向量，常用于确定平面的法向量。
- 计算平行四边形面积：以 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 为邻边的平行四边形面积等于 $|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|$ ，即向量积的模。
- 判断平行关系：两非零向量 $\mathbf{a} \parallel \mathbf{b}$ 的充要条件是 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}$ （零向量）。

混合积

定义：向量 ${\bf a}, {\bf b}, {\bf c}$ 的混合积记为 $({\bf a b c})$ ，定义为向量积与数量积的复合运算： $({\bf a b c}) = ({\bf a} \times {\bf b}) \cdot {\bf c}$ 。
代数表示：在空间直角坐标系中，若 ${\bf a} = (a_x, a_y, a_z)$ ， ${\bf b} = (b_x, b_y, b_z)$ ， ${\bf c} = (c_x, c_y, c_z)$ ，混合积可通过行列式表示：
$({\bf a b c}) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$
运算规律：
- 轮换对称性： cyclic permutation of vectors does not change the result，即 $({\bf a b c}) = ({\bf b c a}) = ({\bf c a b})$ 。
- 交换变号性： swapping any two vectors reverses the sign，例如 $({\bf a b c}) = - ({\bf a c b})$ ， $({\bf a b c}) = - ({\bf c b a})$ 等。
几何应用：
- 平行六面体体积：以 ${\bf a}, {\bf b}, {\bf c}$ 为邻边的平行六面体体积等于混合积的绝对值，即 $V_{\text{平行六面体}} = |({\bf a b c})|$ 。
- 三向量共面判定：三个非零向量 ${\bf a}, {\bf b}, {\bf c}$ 共面的充要条件是其混合积为零： ${\bf a}, {\bf b}, {\bf c} \text{ 共面} \iff ({\bf a b c}) = 0$ 。

空间平面与直线

平面方程

一般式：平面的一般方程为 $Ax + By + Cz + D = 0$ ，其中法向量 $\mathbf{n} = \{A, B, C\}$ （垂直于平面的非零向量）。
点法式：过点 $(x_0, y_0, z_0)$ 且法向量为 $\{A, B, C\}$ 的平面方程为 $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$ 。
截距式：若平面在 $x, y, z$ 轴上的截距分别为 $a, b, c$ （均非零），方程可表示为 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ ，几何意义为平面与三坐标轴交点的坐标分别为 $(a,0,0), (0,b,0), (0,0,c)$ 。

直线方程

一般式：空间直线可视为两平面的交线，方程为联立方程组：
$\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}$
对称式（点向式）：过点 $(x_0, y_0, z_0)$ 且方向向量为 $\mathbf{s} = \{l, m, n\}$ （平行于直线的非零向量）的直线方程为 $\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$ 。
参数式：由对称式变形得到，设比例参数为 $t$ ，则直线方程为 $x = x_0 + lt,\ y = y_0 + mt,\ z = z_0 + nt$ （ $t \in \mathbb{R}$ ）。

平面与直线的位置关系

核心参数：平面的法向量 \mathbf{n} = \{A, B, C\} 和直线的方向向量 \mathbf{s} = \{l, m, n\} 是判断位置关系的关键。
- 平行：直线与平面平行 ⟺ $\mathbf{n} \cdot \mathbf{s} = 0$ （法向量与方向向量数量积为零）且直线不在平面内。
- 垂直：直线与平面垂直 ⟺ $\mathbf{n} \parallel \mathbf{s}$ （法向量与方向向量共线），即 $\frac{A}{l} = \frac{B}{m} = \frac{C}{n}$ 。
- 夹角：直线与平面的夹角 $\theta$ （ $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ ）满足 $\sin\theta = \frac{|\mathbf{n} \cdot \mathbf{s}|}{|\mathbf{n}||\mathbf{s}|}$ 。

点到面的距离

公式：空间一点 $(x_0, y_0, z_0)$ 到平面 $Ax + By + Cz + D = 0$ 的距离为： $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ 几何意义：距离等于该点与平面上任一点连线在法向量方向上的投影长度。

点到直线距离

公式：空间一点 $(x_0, y_0, z_0)$ 到直线 $\frac{x - x_1}{l} = \frac{y - y_1}{m} = \frac{z - z_1}{n}$ 的距离为： $d = \frac{|\{x_1 - x_0, y_1 - y_0, z_1 - z_0\} \times \{l, m, n\}|}{\sqrt{l^2 + m^2 + n^2}}$ 其中分子为向量 $\overrightarrow{P_0P_1} = \{x_1 - x_0, y_1 - y_0, z_1 - z_0\}$ 与直线方向向量 $\mathbf{s} = \{l, m, n\}$ 的向量积的模（表征以两向量为邻边的平行四边形面积），分母为方向向量的模，整体等价于平行四边形面积除以底边长，即高（距离）。

曲面与空间曲线

曲面方程

一般式：空间曲面的一般方程为 $F(x, y, z) = 0$ ，或显式表示为 $z = f(x, y)$ （适用于单值曲面）。

空间曲线

参数式：曲线可由参数方程描述，其中 $t$ 为参数：
$\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}$
一般式：空间曲线可视为两曲面的交线，方程为联立方程组：
$\begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases}$

常见曲面

1. 旋转面

定义：一条平面曲线绕平面内一条定直线旋转一周所形成的曲面。
方程推导：设平面曲线 L 在 yoz 平面上，方程为 \begin{cases} f(y, z) = 0 \\ x = 0 \end{cases}，则：
- 绕 $y$ -轴旋转：将曲线方程中的 $z$ 替换为 $\pm \sqrt{x^2 + z^2}$ ，得旋转面方程 $f\left(y, \pm \sqrt{x^2 + z^2}\right) = 0$ 。
- 绕 $z$ -轴旋转：将曲线方程中的 $y$ 替换为 $\pm \sqrt{x^2 + y^2}$ ，得旋转面方程 $f\left(\pm \sqrt{x^2 + y^2}, z\right) = 0$ 。

2. 柱面

定义：平行于某定直线（母线方向）并沿一条定曲线（准线）移动的直线所形成的轨迹。
方程示例：
- 准线为 $xy$ -平面上的曲线 $\Gamma: \begin{cases} f(x, y) = 0 \\ z = 0 \end{cases}$ ，母线平行于 $z$ -轴时，柱面方程为 $f(x, y) = 0$ （不含 $z$ ）。
- 准线为两曲面交线 $\Gamma: \begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases}$ ，母线平行于 $z$ -轴时，消去 $z$ 得柱面方程 $H(x, y) = 0$ 。

3. 二次曲面

椭圆锥面： $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = z^2$ ；特别地，当 $a = b$ 时为圆锥面 $x^2 + y^2 = z^2$ 。
椭球面： $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ ；特别地，当 $a = b = c = R$ 时为球面 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ 。
单叶双曲面： $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ （沿 $z$ -轴方向无限延伸，单连通）。
双叶双曲面： $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ （沿 $x$ -轴方向分为两叶，不连通）。
椭圆抛物面： $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = z$ ；特别地，当 $a = b$ 时为旋转抛物面 $z = x^2 + y^2$ 。
双曲抛物面（马鞍面）： $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = z$ （在不同方向上分别呈抛物与双曲特征）。

空间曲线的投影

定义：空间曲线 $\Gamma: \begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases}$ 在坐标面上的投影，是该曲线向坐标面作垂线所形成的柱面与坐标面的交线。
方程示例：在 $xy$ -面上的投影曲线方程为 $\begin{cases} H(x, y) = 0 \\ z = 0 \end{cases}$ ，其中 $H(x, y) = 0$ 是消去 $z$ 后得到的投影柱面方程。

多元微分在几何上的应用

曲面的切平面与法线

曲面 $F(x, y, z) = 0$ ：法向量 $\mathbf{n} = \{F_x, F_y, F_z\}$ ，其中 $F_x, F_y, F_z$ 分别为 $F$ 对 $x, y, z$ 的偏导数。
曲面 $z = f(x, y)$ ：法向量 $\mathbf{n} = \{f_x, f_y, -1\}$ （可视为 $F(x, y, z) = f(x, y) - z = 0$ 的特例，此时 $F_x = f_x, F_y = f_y, F_z = -1$ ）。

曲线的切线与法平面

参数式曲线 $\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}$ ：在点 $t = t_0$ 处的切向量 $\boldsymbol{\tau} = \{x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0)\}$ ，其中 $x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0)$ 为各分量的导函数在 $t_0$ 处的值。
一般式曲线（两曲面交线） $\begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases}$ ：切向量 $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2$ ，其中 $\mathbf{n}_1 = \{F_x, F_y, F_z\}$ （曲面 $F$ 的法向量）， $\mathbf{n}_2 = \{G_x, G_y, G_z\}$ （曲面 $G$ 的法向量）， $\times$ 表示向量叉积。