多元积分学及其应用

多元积分学及其应用

三重积分

定义

三重积分的定义通过分割、近似、求和、取极限给出：

其中，\Omega 为空间有界闭区域，\lambda 是各小闭区域直径的最大值，\Delta v_k 表示第 k 个小闭区域的体积。

性质

（三重积分的基本性质与二重积分类似，包括线性性、区域可加性、比较定理等，具体内容可参考二重积分性质拓展）

计算方法

1. 直角坐标下的计算
   依据积分区域的特征，可选择不同的积分顺序：

   • 先一后二法（投影法）：
     将空间区域 \Omega 投影到 xy 平面得平面区域 D_{xy}，在 D_{xy} 内任取一点 (x,y)，过该点作平行于 z 轴的直线，与 \Omega 的边界交于 z=z_1(x,y) 和 z=z_2(x,y)，则：

• 先二后一法（截面法）：
  若空间区域 \Omega 介于平面 z=c_1 和 z=c_2 之间，过 z 轴上任一点 z \in [c_1, c_2] 作垂直于 z 轴的平面，与 \Omega 相交得平面区域 D_z，则：

2. 柱坐标下的计算
   当积分区域 \Omega 具有旋转对称性（如圆柱、圆锥等）时，可采用柱坐标变换简化计算：
   • 坐标变换公式：

• 体积元素：

• 积分转换公式：

（注：适用场景包括积分区域由圆柱面、旋转抛物面等围成，或被积函数含 x^2 + y^2 项）

球坐标

坐标变换与体积元素

• 变量替换公式：

• 体积元素：

• 积分转换公式：

（适用场景：积分区域为球体、锥体等具有球对称性，或被积函数含 x^2+y^2+z^2 项）

积分简化技巧

利用奇偶性

• 对称条件：若积分域 \Omega 关于 xoy 平面对称，则：

利用变量对称性

• 示例：若积分域关于 x,y,z 具有轮换对称性（如球体 x^2+y^2+z^2 \leq R^2），则：

（通过对称性将 x^2,y^2,z^2 积分等价替换，简化计算）

对弧长的线积分（第一类线积分）

• 定义：
  设函数 f(x,y) 在曲线 L 上有定义，将 L 任意分成 n 个小弧段，各小弧段的长度为 \Delta s_i，在每个小弧段上任取一点 (\xi_i, \eta_i)，作和式 \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta s_i。若当各小弧段长度的最大值 \lambda \to 0 时，该和式的极限存在，则称此极限为函数 f(x,y) 在曲线 L 上对弧长的线积分，记作：

• 性质：
  对弧长的线积分与积分路径的方向无关，即：

• 计算方法：

  • 直接法：
    根据曲线 L 的不同方程形式，将线积分转化为定积分计算：
    1. 若曲线 L 的参数方程为 \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}（\alpha \leq t \leq \beta，且 x(t), y(t) 具有连续导数），则：

2. 若曲线 $L$ 的方程为 $y = y(x)$（$a \leq x \leq b$，且 $y(x)$ 具有连续导数），则：

3. 若曲线 L 的极坐标方程为 \rho = \rho(\theta)（\alpha \leq \theta \leq \beta，且 \rho(\theta) 具有连续导数），则通过 x = \rho(\theta) \cos\theta, y = \rho(\theta) \sin\theta 转化为参数方程，得：

• 利用奇偶性简化计算：
  1. 若积分曲线 L 关于 y-轴对称：
     • 若 f(-x, y) = f(x, y)（即 f 关于 x 为偶函数），则 \int_L f(x,y) \, ds = 2\int_{L_{x \geq 0}} f(x,y) \, ds；
     • 若 f(-x, y) = -f(x, y)（即 f 关于 x 为奇函数），则 \int_L f(x,y) \, ds = 0。
  2. 若积分曲线 L 关于 x-轴对称：
     • 若 f(x, -y) = f(x, y)（即 f 关于 y 为偶函数），则 \int_L f(x,y) \, ds = 2\int_{L_{y \geq 0}} f(x,y) \, ds；
     • 若 f(x, -y) = -f(x, y)（即 f 关于 y 为奇函数），则 \int_L f(x,y) \, ds = 0。

对弧长的线积分（第一类线积分）

• 利用对称性：
  若积分曲线 C 关于直线 y = x 对称，则：

特别地，当 f(x,y) = f(x)（仅依赖于 x）时：

• 空间曲线的计算：
  设空间曲线 L 的参数方程为 \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}（\alpha \leq t \leq \beta，且 x(t), y(t), z(t) 具有连续导数），则：

对坐标的线积分（第二类线积分）

• 定义：
  设函数 P(x,y), Q(x,y) 在有向曲线 L 上有定义，将 L 任意分成 n 个有向小弧段，各小弧段在 x-轴、y-轴上的投影分别为 \Delta x_i, \Delta y_i，在每个小弧段上任取一点 (\xi_i, \eta_i)。若当各小弧段长度的最大值 \lambda \to 0 时，和式 \sum_{i=1}^n [P(\xi_i, \eta_i) \Delta x_i + Q(\xi_i, \eta_i) \Delta y_i] 的极限存在，则称此极限为向量函数 (P, Q) 在有向曲线 L 上对坐标的线积分，记作：

• 性质：
  对坐标的线积分与积分路径方向有关，即：

（其中 L(AB) 表示从 A 到 B 的路径，L(BA) 为反向路径）

• 计算方法（平面曲线）：

  • 直接法：
    若有向曲线 L 的参数方程为 \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}（当参数 t 从 \alpha 单调变到 \beta 时，对应路径从起点到终点），则：

• 格林公式：
  设闭区域 D 由分段光滑的有向曲线 L（取正向，即沿 L 行走时 D 始终在左侧）围成，函数 P(x,y), Q(x,y) 在 D 上具有一阶连续偏导数，则：

（注：若 L 非闭，可通过“补线”使其闭合后应用格林公式，再减去补线部分的积分）

• 利用线积分与路径无关：
  1. 判定条件：在单连通区域 D 内，若 \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}，则线积分 \int_L P \, dx + Q \, dy 与路径无关，仅依赖于起点和终点。
  2. 计算方法：
     • 改换路径：选择简便路径（如折线）计算积分；
     • 原函数法：若存在函数 F(x,y) 使得 dF = P \, dx + Q \, dy（即 F 为 P \, dx + Q \, dy 的原函数），则：

     （求原函数的常用方法：偏积分法、凑微分法）

• 两类线积分的联系：
  平面上对坐标的线积分可转化为对弧长的线积分：

其中 \cos\alpha, \cos\beta 为有向曲线 L 上点 (x,y) 处切向量的方向余弦。

• 计算方法（空间曲线）：

  • 直接法：
    设空间有向曲线 L 的参数方程为 \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}（参数 t 从 \alpha 变到 \beta 对应路径方向），则：

（其中 $P = P(x(t), y(t), z(t))$, $Q, R$ 类似）

• 斯托克斯公式：
  设 \varSigma 是以空间有向闭曲线 L 为边界的分片光滑有向曲面（L 的正向与 \varSigma 的侧符合右手规则），函数 P, Q, R 在包含 \varSigma 的空间区域内具有一阶连续偏导数，则：

（或用行列式形式表示为：\iint_{\varSigma} \begin{vmatrix} dy dz & dz dx & dx dy \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}）

对面积的面积分（第一类面积分）

• 定义：
  设函数 f(x,y,z) 在分片光滑曲面 \varSigma 上有定义，将 \varSigma 任意分成 n 个小曲面片，各小曲面片的面积为 \Delta S_i，在每个小曲面片上任取一点 (\xi_i, \eta_i, \zeta_i)，作和式 \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta S_i。若当各小曲面片直径的最大值 \lambda \to 0 时，该和式的极限存在，则称此极限为函数 f(x,y,z) 在曲面 \varSigma 上对面积的面积分，记作：

• 性质：
  对面积的面积分与积分曲面的方向（即曲面的“正侧”或“负侧”）无关，即：

（其中 -\varSigma 表示与 \varSigma 取向相反的同一曲面）

• 计算方法：

  • 直接法：
    若曲面 \varSigma 由方程 z = z(x,y) 给出，其在 xoy-平面上的投影区域为 D，且 z(x,y) 在 D 上具有一阶连续偏导数，则：

（注：若曲面由 $x = x(y,z)$ 或 $y = y(x,z)$ 给出，可类似投影到 $yoz$-平面或 $xoz$-平面，替换相应的偏导数项）

• 利用奇偶性：
  若曲面 \varSigma 关于 xoy-面对称，则：

（类似结论可推广到关于 $yoz$-面或 $xoz$-面对称的曲面）

• 利用对称性（轮换对称性）：
  若曲面 \varSigma 具有轮换对称性（如球面 x^2 + y^2 + z^2 = 1），即对换变量 x, y, z 后曲面方程不变，则：

示例：对球面 \varSigma: x^2 + y^2 + z^2 = 1，有 \iint_{\varSigma} x^2 \, dS = \iint_{\varSigma} y^2 \, dS = \iint_{\varSigma} z^2 \, dS，因此：

（其中 $\iint_{\varSigma} 1 \, dS = 4\pi$ 为球面面积）

对坐标的面积分（第二类面积分）

• 定义：
  对坐标的面积分（第二类面积分）涉及向量场在有向曲面上的累积效应，典型形式为 \iint_{\varSigma} P(x,y,z) \, dy dz + Q(x,y,z) \, dz dx + R(x,y,z) \, dx dy。以 R(x,y,z) \, dx dy 分量为例，其定义为：

其中 (\Delta S_i)_{xy} 表示小曲面片 \Delta S_i 在 xoy- 平面上的投影（带符号，取决于曲面侧的取向）。

• 性质：
  对坐标的面积分与积分曲面的方向（“侧”）密切相关。若将曲面 \varSigma 的取向反转（记为 -\varSigma），则积分值变号：

• 计算方法：

  • 直接法（按投影方向转化为二重积分）：
    根据曲面方程和投影方向选择合适的坐标面，需结合曲面取向确定积分符号（“上正下负、前正后负、右正左负”）：
    1. 投影到 xoy-平面：
       若曲面 \varSigma: z = z(x,y)（(x,y) \in D_{xy}，D_{xy} 为投影区域），取向“上侧”（法向量 z-分量为正）时：

取向“下侧”时，等式右侧加负号。

2. 投影到 yoz-平面：
   若曲面 \varSigma: x = x(y,z)（(y,z) \in D_{yz}），取向“前侧”（法向量 x-分量为正）时：

取向“后侧”时，等式右侧加负号。

3. 投影到 xoz-平面：
   若曲面 \varSigma: y = y(z,x)（(z,x) \in D_{xz}），取向“右侧”（法向量 y-分量为正）时：

   取向“左侧”时，等式右侧加负号。

• 高斯公式（Gauss's Theorem）：
  设空间闭区域 \varOmega 由分片光滑的有向闭曲面 \varSigma（取外侧，即法向量指向区域外部）围成，函数 P, Q, R 在 \varOmega 上具有一阶连续偏导数，则：

补面技巧：若 \varSigma 非闭，可通过添加辅助曲面 \varSigma' 使其闭合（形成 \varSigma_{\text{ 闭}} = \varSigma + \varSigma'），应用高斯公式后减去辅助曲面的积分：