场论初步
场论初步
- 方向导数
- 定义：函数 f(x,y) 在点 (x_0, y_0) 处沿方向 l（方向余弦为 \cos\alpha, \cos\beta）的方向导数，描述函数沿该方向的变化率，定义为：
\left. \frac{\partial f}{\partial l} \right|_{(x_0,y_0)} = \lim_{t \to 0^+} \frac{f(x_0 + t\cos\alpha, y_0 + t\cos\beta) - f(x_0, y_0)}{t}
（其中 t \to 0^+ 表示沿方向 l 的微小位移参数，取右极限以确保方向一致性）
- 计算：若函数 z = f(x,y) 在点 (x,y) 处可微（关键条件），则方向导数可通过偏导数与方向余弦的线性组合计算：
\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x} \cos\alpha + \frac{\partial f}{\partial y} \cos\beta
（\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} 分别为 f 对 x, y 的一阶偏导数）
- 梯度
- 定义：设函数 f(x,y) 在点 P(x_0, y_0) 处具有连续一阶偏导数，则其梯度是一个向量，定义为：
\text{grad}u = f_x(x_0, y_0) \mathbf{i} + f_y(x_0, y_0) \mathbf{j}
（其中 u = f(x,y)，f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, f_y = \frac{\partial f}{\partial y} 为偏导数，\mathbf{i}, \mathbf{j} 为 x, y 轴正方向的单位向量）
- 几何意义：梯度方向是函数 f 增长最快的方向，其模长等于该方向上的方向导数（即最大方向导数）。例如，若方向 l 与梯度方向一致（\cos\alpha = \frac{f_x}{|\text{grad}u|}, \cos\beta = \frac{f_y}{|\text{grad}u|}），则 \frac{\partial f}{\partial l} = |\text{grad}u|。