幂级数

幂级数

收敛半径、收敛区间及收敛域

定义 1
形如以下两种形式的级数称为幂级数：

• 中心在原点的幂级数：\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots
• 中心在x_0的幂级数：\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n = a_0 + a_1 (x - x_0) + \cdots + a_n (x - x_0)^n + \cdots

定理 1（阿贝尔定理）

• 若幂级数\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n在x = x_0\ (x_0 \neq 0)时收敛，则当|x| < |x_0|时，该级数绝对收敛。
• 若幂级数\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n在x = x_0时发散，则当|x| > |x_0|时，该级数发散。

定理 2
幂级数\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n的收敛性有且仅以下三种可能：

• 对任何x \in (-\infty, +\infty)都收敛，此时收敛半径R = +\infty；
• 仅在x = 0处收敛，此时收敛半径R = 0；
• 存在正数R，当|x| < R时绝对收敛，当|x| > R时发散，此时R称为收敛半径。

注：若幂级数 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n 在点 x = x_0 处条件收敛，则点 x_0 必为该幂级数收敛区间 (-R, R) 的一个端点。

定理 3（比值法求收敛半径）
若 \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \rho，则收敛半径 R = \frac{1}{\rho}。

• 特别地，当 \rho = 0 时，R = +\infty；当 \rho = +\infty 时，R = 0。

定理 4（根值法求收敛半径）
若 \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \rho，则收敛半径 R = \frac{1}{\rho}。

• 与定理3类似，\rho = 0 \implies R = +\infty，\rho = +\infty \implies R = 0。

幂级数的性质

有理运算性质

设幂级数 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n 的收敛半径为 R_1，\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n 的收敛半径为 R_2，令 R = \min\{R_1, R_2\}，则在区间 (-R, R) 内：

• 加减法：\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \pm \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (a_n \pm b_n) x^n，收敛半径为 R。
• 乘法：(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n) \cdot (\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n，其中系数 c_n = a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + \cdots + a_n b_0（柯西乘积），收敛半径 \geq R（可能更小）。
• 除法：\frac{\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n}{\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n} = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n（需 b_0 \neq 0），收敛半径可能远小于 R，需具体判定。

分析性质

设幂级数 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n 的收敛半径为 R，和函数为 S(x)，则：

• 连续性：S(x) 在收敛域上连续（若端点收敛，则在端点处单侧连续）。

• 可导性：在开区间 (-R, R) 内，S(x) 可逐项求导，且收敛半径不变：
  S'(x) = \left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \right)' = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}
  （可导性仅在开区间 (-R, R) 内保证，端点需单独验证）。

• 可积性：幂级数的和函数 S(x) 在收敛域上可积，且可逐项积分，积分后的收敛半径不变。即
  \int_{0}^{x} S(t) \, dt = \int_{0}^{x} \sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n \, dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}
  （可积性在收敛域上成立，逐项积分后收敛半径仍为 R，端点处敛散性需单独验证）。

函数的幂级数展开

定理 1（展开式的唯一性）
若函数 f(x) 在区间 (x_0 - R, x_0 + R) 内可展开为 (x - x_0) 的幂级数，即
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n
则其展开式唯一，且系数 a_n 必为 f(x) 在 x_0 处的泰勒系数：
a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \quad (n = 0, 1, 2, \cdots)
该级数称为 f(x) 在 x_0 处的 泰勒级数。

定理 2（收敛的充要条件）
设函数 f(x) 在 x_0 处具有任意阶导数，则其泰勒级数
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n
在区间 (x_0 - R, x_0 + R) 内收敛于 f(x) 的充分必要条件是：
\lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0
其中 R_n(x) 为 f(x) 在 x_0 处的泰勒公式余项，即
R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x - x_0)^{n+1}
（\xi 介于 x_0 与 x 之间，称为拉格朗日型余项）。

泰勒公式的完整形式为：
f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k + R_n(x)

几个常用的幂级数展开式

• 等比级数
  \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + \cdots
  收敛区间：(-1 < x < 1)。

• 指数函数
  e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots
  收敛区间：(-\infty < x < +\infty)。

• 正弦函数
  \sin x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2n-1}}{(2n-1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} + \cdots
  收敛区间：(-\infty < x < +\infty)。

• 余弦函数
  \cos x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots
  收敛区间：(-\infty < x < +\infty)。

• 对数函数
  \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + \cdots
  收敛区间：(-1 < x \leq 1)。

• 二项式展开
  (1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!} x^n + \cdots
  收敛区间：(-1 < x < 1)（端点敛散性与 \alpha 取值相关）。

函数展开为幂级数的方法

1. 直接展开法

• 第一步：计算函数 f(x) 在展开中心 x_0 处的各阶导数，得到泰勒系数
  a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \quad (n = 0, 1, 2, \cdots)
  写出泰勒级数 \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n。

• 第二步：验证泰勒公式余项 R_n(x) 的极限是否为 0：
  \lim_{n \to \infty} R_n(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1} = 0
  （其中 \xi 介于 x_0 与 x 之间）。若成立，则泰勒级数收敛于 f(x)。

2. 间接展开法

• 核心原理：利用幂级数展开式的唯一性，结合已知的常用展开式（如上述六个展开式），通过幂级数的性质（四则运算、逐项求导、逐项积分、变量代换等）推导目标函数的展开式。
  • 示例：
    • 对 \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n 逐项求导，可得 \frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}；
    • 对 \sin x 展开式逐项积分，可得 \cos x 的展开式（需调整常数项）。
  • 优势：无需直接计算高阶导数和验证余项，简化展开过程。

傅立叶级数

傅里叶系数与傅里叶级数

傅里叶级数是将周期函数表示为三角函数（正弦和余弦函数）级数之和的一种方法。其核心在于通过计算傅里叶系数来确定各三角函数项的权重。

• 傅里叶系数的定义
  对于周期为 2\pi 的函数 f(x)，傅里叶系数 a_n 和 b_n 定义为：
  a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx \quad (n = 0, 1, 2, \cdots)
  b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \quad (n = 1, 2, 3, \cdots)
  其中，a_0 为常数项系数，需单独计算（对应 n=0 时的 a_n）。

• 傅里叶级数的展开式
  函数 f(x) 的傅里叶级数表达式为：
  f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right)
  符号“\sim”表示级数与函数 f(x) 的逼近关系，其收敛性需通过收敛定理判断。

收敛定理（狄利克雷）

狄利克雷收敛定理给出了傅里叶级数收敛的充分条件，具体如下：

设函数 f(x) 在区间 [-\pi, \pi] 上满足：

1. 连续或仅有有限个第一类间断点（即左右极限均存在的间断点）；
2. 仅有有限个极值点（函数单调或仅有有限次升降），

则 f(x) 的傅里叶级数在 [-\pi, \pi] 上处处收敛，且收敛结果为：

• 当 x 为 f(x) 的连续点时，级数收敛于 f(x)：
  S(x) = f(x)
• 当 x 为 f(x) 的间断点时，级数收敛于该点左右极限的算术平均值：
  S(x) = \frac{f(x^-) + f(x^+)}{2}
• 当 x = \pm\pi 时，级数收敛于区间端点处函数左右极限的平均值：
  S(x) = \frac{f((-\pi)^+) + f(\pi^-)}{2}

注：狄利克雷条件是傅里叶级数收敛的常用判据，但非必要条件。实际应用中，大部分工程和物理问题中的函数均满足该条件。

周期为 2l 的函数的展开

在 [-l, l] 上的展开

对于周期为 2l 的函数 f(x)，其傅里叶级数展开可通过变量替换将区间 [-l, l] 映射到 [-\pi, \pi] 得到，核心是调整积分区间与三角函数的频率项。傅里叶系数定义如下：

• 余弦项系数 a_n：
  a_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{l}\right) dx, \quad n = 0, 1, 2, \cdots

• 正弦项系数 b_n：
  b_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right) dx, \quad n = 1, 2, \cdots

此时，函数 f(x) 的傅里叶级数展开式为：
f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{l}\right)+ b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right)\right)
其中，l 为区间半长，替换 \pi \to l 可从周期 2\pi 的结论推广至此。

在 [-l, l] 上奇偶函数的展开

若 f(x) 在 [-l, l] 上为奇函数或偶函数，可利用对称性简化系数计算，与周期 2\pi 情形类似但需适配区间 [-l, l]：

i) f(x) 为奇函数

• 因 f(x)\cos\left(\frac{n\pi x}{l}\right) 为奇函数（奇函数×偶函数=奇函数），对称区间积分为 0，故：
  a_n = 0, \quad n = 0, 1, 2, \cdots
• 正弦项系数 b_n 积分区间可简化为 [0, l]，并加倍：
  b_n = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right) dx, \quad n = 1, 2, \cdots
  此时傅里叶级数退化为 正弦级数：f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right)。

ii) f(x) 为偶函数

• 因 f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right) 为奇函数（偶函数×奇函数=奇函数），对称区间积分为 0，故：
  b_n = 0, \quad n = 1, 2, \cdots
• 余弦项系数 a_n 积分区间可简化为 [0, l]，并加倍：
  a_n = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{l}\right) dx, \quad n = 0, 1, 2, \cdots
  此时傅里叶级数退化为 余弦级数：f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{l}\right)。

注：周期 2l 的展开是周期 2\pi 情形的推广，通过线性变换 t = \frac{\pi x}{l} 可将 [-l, l] 映射为 [-\pi, \pi]，从而复用狄利克雷收敛定理等结论。