导数与微分

导数

定义：函数在点 x_0 处的导数 f'(x_0) 描述了函数在该点的瞬时变化率，是自变量增量趋于0时，函数增量与自变量增量的比值的极限，有两种等价形式：
- 以 $\Delta x$ 为变量： $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
- 以 $x$ 为变量： $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$
  （两种形式的等价性可通过变量替换 $\Delta x = x - x_0$ 理解：当 $\Delta x \to 0$ 时， $x \to x_0$ ，反之亦然）
本质：导数是变化率的极限，仅反映函数在 $x_0$ 处的“瞬时变化趋势”，与函数在 $x_0$ 处的函数值 $f(x_0)$ 有关联，但不依赖于 $f(x_0)$ 本身的具体数值。

左导数、右导数

左导数：当自变量从 $x_0$ 左侧（ $x < x_0$ ）趋近于 $x_0$ 时的导数，记为 $f'_-(x_0)$ ，表达式为：
$f'_-(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
右导数：当自变量从 $x_0$ 右侧（ $x > x_0$ ）趋近于 $x_0$ 时的导数，记为 $f'_+(x_0)$ ，表达式为：
$f'_+(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
函数可导的条件：函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导的充要条件是左导数与右导数均存在且相等，即 $f'_-(x_0) = f'_+(x_0) = f'(x_0)$ 。

导数存在的充要条件

函数在点 $x_0$ 处可导，等价于它在 $x_0$ 处的左导数和右导数都存在且相等。

微分

函数在一点 $x_0$ 处的增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ 若能表示为 $\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)$ （其中 $A$ 是常数， $o(\Delta x)$ 是当 $\Delta x \to 0$ 时比 $\Delta x$ 高阶的无穷小量），则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微， $A\Delta x$ 为函数的微分，记作 $dy$ 。
微分的核心意义在于线性主部：函数的增量可近似表示为自变量增量 $\Delta x$ 的一次函数（即线性关系），而与线性主部的误差是比 $\Delta x$ 更高阶的无穷小量，这部分误差对应函数的“非线性变化”，微分则仅保留“均匀变化”的贡献。
从可导性角度，函数在 $x_0$ 处可微的充分必要条件是其在 $x_0$ 处可导，且此时微分与导数直接关联： $dy = f'(x_0)\Delta x$ 。为与后续自变量的微分统一，常将自变量增量 $\Delta x$ 记为 $dx$ （自变量微分），从而微分表达式更简洁为 $dy = f'(x_0)dx$ 。

可微与可导的关系

函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微的充分必要条件是它在 $x_0$ 处可导，且此时微分 $dy = f'(x_0)\Delta x = f'(x_0)dx$ （通常将自变量增量 $\Delta x$ 记为 $dx$ ，称为自变量的微分）。
这直接说明：可微与可导是等价的，微分由导数唯一确定，即微分是导数与自变量微分的乘积。

导数、微分的关系

导数存在的充要条件

函数在点 $x_0$ 处可导，等价于该点的左导数和右导数均存在且相等。

几何意义

导数：曲线 y = f(x) 在点 (x_0, f(x_0)) 处切线的斜率，即 f'(x_0)。
- 切线方程： $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$ ；
- 法线方程： $y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$ （需 $f'(x_0) \neq 0$ ）。
微分：曲线在该点切线上的增量，即 $dy$ 对应切线上的 $\Delta y$ 近似值（ $\Delta y \approx dy$ ）。

连续、可导、可微的关系

可导与可微等价；
可导必连续：可导是连续的充分非必要条件（连续函数未必可导，例如 $y=|x|$ 在原点连续但不可导）；
可微必连续：连续是可导（可微）的必要非充分条件（连续函数未必可微，例如含绝对值或间断点的函数）。

导数存在与导函数连续性的关系

函数在 $x_0$ 的某邻域可导，仅能推出导函数 $f'(x)$ 在该邻域内存在，无法保证 $f'(x)$ 在 $x_0$ 处连续。例如，存在“振荡间断点的导数”，此时导函数在该点不连续但本身存在。

洛必达法则的求导阶数限制

当函数 $f(x)$ 为 $n$ 阶可导（即存在 $n$ 阶导数）时，应用洛必达法则（处理 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 型未定式），最多可对分子分母求导至 $n-1$ 阶；若继续求导至 $n$ 阶，需额外确认 $n$ 阶导数存在且满足洛必达法则的基本条件（如分母导函数不为零等），此处以“最多”为限制，故可到 $n-1$ 阶。
当函数 $f(x)$ 为 $n$ 阶连续可导（即 $n$ 阶导数在该点连续）时，应用洛必达法则，最多可对分子分母求导至 $n$ 阶；此时 $n$ 阶导数的连续性通常为高阶导数应用的必要条件（避免因高阶导数不连续导致极限不唯一），故在满足连续可导的前提下，可扩展至 $n$ 阶导数。

基本初等函数的导数公式

常数函数： $(C)' = 0$ （ $C$ 为常数，导数恒为 0）。
幂函数： $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$ （ $\alpha$ 为常数，如 $(x^2)' = 2x$ 、 $(x^3)' = 3x^2$ 等均为特例）。
指数函数： $(a^x)' = a^x \ln a$ （ $a > 0, a \neq 1$ ）；特殊地，以 $e$ 为底的指数函数导数等于自身： $(e^x)' = e^x$ （因 $\ln e = 1$ ，导函数简化为原函数）。
对数函数： $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$ （ $a > 0, a \neq 1, x > 0$ ）；自然对数函数为特例： $(\ln|x|)' = \frac{1}{x}$ （定义域扩展至 $x \neq 0$ ，因 $x < 0$ 时 $\ln x$ 无定义，绝对值保证导数形式不变）。
三角函数： $(\sin x)' = \cos x$ ， $(\cos x)' = -\sin x$ （正弦导数为余弦，余弦则为负正弦）。
正切/余切函数： $(\tan x)' = \sec^2 x$ （ $\sec x = 1/\cos x$ ）， $(\cot x)' = -\csc^2 x$ （ $\csc x = 1/\sin x$ ）。
正割/余割函数： $(\sec x)' = \sec x \tan x$ ， $(\csc x)' = -\csc x \cot x$ （含正割、余割与正/余切的乘积项）。
反正弦/反余弦函数： $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ （定义域 $x \in [-1, 1]$ ），其导数与 $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ 互为相反数（原函数图像关于 $y = \pi/2$ 对称，导函数自然对称）。
反正切/反余切函数： $(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}$ （定义域 $\mathbb{R}$ ），其导数与 $(arccot x)' = -\frac{1}{1 + x^2}$ 互为相反数（原函数图像关于 $y = \pi/2$ 对称，导函数自然对称）。

求导法则

有理运算法则：适用于两个可导函数 u(x)、v(x) 的四则运算求导。
- 和差法则： $(u \pm v)' = u' \pm v'$ ，如 $(x^3 \pm \sin x)' = 3x^2 \pm \cos x$ 。
- 乘积法则： $(uv)' = u'v + uv'$ （记忆“前导后不导加前不导后导”），例 $(x \ln x)' = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$ 。
- 商法则： $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ （分母 $v \neq 0$ ，记忆“分母平方，分子前导后减后导前”），例 $\left(\frac{x}{e^x}\right)' = \frac{e^x - x e^x}{(e^x)^2} = \frac{1 - x}{e^x}$ 。
复合函数求导法（链式法则）：若 $y = f(u)$ 且 $u = \varphi(x)$ （两者均可导），复合函数 $y = f[\varphi(x)]$ 的导数为：
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(u) \cdot \varphi'(x)$
核心：外层函数对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导。例 $y = \sin(2x)$ ，令 $u = 2x$ ，则 $\frac{dy}{dx} = \cos u \cdot 2 = 2\cos(2x)$ 。

反函数的导数

若原函数 $y = f(x)$ 在某区间可导，且导数 $f'(x) \neq 0$ ，则其反函数 $x = \varphi(y)$ （ $y$ 为自变量， $x$ 为因变量）也可导，且导数关系为：

\varphi'(y) = \frac{1}{f'(x)} \quad \text{或} \quad \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}

说明：原函数与反函数的图像关于直线 $y = x$ 对称，二者在对应点处的切线斜率互为倒数（因倾斜角互余，正切值互为倒数）。例如，原函数 $y = e^x$ 的导数为 $y' = e^x$ ，其反函数 $x = \ln y$ 的导数为 $x'= \frac{1}{y} = \frac{1}{e^x} = \frac{1}{y'}$ 。

隐函数求导法

当方程 $F(x, y) = 0$ 确定了 $y$ 是 $x$ 的隐函数（即无法显式解出 $y = y(x)$ ）时，可通过偏导数求导。
步骤：

对等式 $F(x, y) = 0$ 两边同时关于 $x$ 求导，期间将 $y$ 视为 $x$ 的函数，对含 $y$ 的项使用复合函数求导法则（链式法则）；
解出 $y' = \frac{dy}{dx}$ 。
用偏导数表示则有：

\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}

其中 $F_x$ 为 $F(x, y)$ 对 $x$ 的偏导数（视为常数）， $F_y$ 为 $F(x, y)$ 对 $y$ 的偏导数（视为常数），且需满足 $F_y \neq 0$ （由隐函数定理保证隐函数可导）。
示例：对 $F(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$ 求导，两边对 $x$ 求导得 $2x + 2y \cdot y' = 0$ ，解得 $y' = -\frac{x}{y}$ ，与公式 $-\frac{F_x}{F_y} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}$ 一致。

参数方程求导法

由参数方程 $\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$ （ $\alpha < t < \beta$ ）确定的函数 $y = y(x)$ ，需通过参数 $t$ 建立 $y$ 与 $x$ 的导数关系。
前提： $\varphi(t), \psi(t)$ 均为 $t$ 的可导函数，且 $\varphi'(t) \neq 0$ （确保分母不为零，避免导数不存在）。

一阶导数推导

本质是复合函数求导： $y$ 是 $t$ 的函数， $t$ 又是 $x$ 的函数，由链式法则：
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}$ 。

对 $x = \varphi(t)$ 两边对 $t$ 求导： $\frac{dx}{dt} = \varphi'(t)$ ，即 $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\varphi'(t)}$ （倒数关系）；
对 $y = \psi(t)$ 两边对 $t$ 求导： $\frac{dy}{dt} = \psi'(t)$ 。
两式相乘得： $\frac{dy}{dx} = \psi'(t) \cdot \frac{1}{\varphi'(t)} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$ 。

二阶导数推导

二阶导数是一阶导数的导数，即 $\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx} \right)$ 。

因 $\frac{dy}{dx}$ 是 $t$ 的函数，记为 $f(t) = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$ ，故需对 $f(t)$ 关于 $t$ 求导后，再乘 $\frac{dt}{dx}$ （即 $1/\varphi'(t)$ ），即：
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dt}[f(t)] \cdot \frac{dt}{dx}$ 。
对 $f(t)$ 用商的求导法则： $f'(t) = \frac{(\psi''(t) \varphi'(t) - \psi'(t) \varphi''(t))}{[\varphi'(t)]^2}$ 。
再乘 $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\varphi'(t)}$ ，得： $\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{\psi''(t) \varphi'(t) - \psi'(t) \varphi''(t)}{[\varphi'(t)]^3}$ 关键：将一阶导数视为 $t$ 的函数，对 $t$ 求导后需“乘参数对 $x$ 的导数的倒数”（即 $dt/dx$ ）。

对数求导法

函数为 幂指函数（如 $y = u(x)^{v(x)}$ ，底数 $u(x)$ 和指数 $v(x)$ 均为 $x$ 的函数），直接求导时指数部分难以处理。
含 多个因式乘除、乘方、开方 的复杂表达式（如 $y = \frac{(x+1)\sqrt{x-2}}{(2x+3)^3}$ ），直接展开或用商/积法则求导步骤繁琐。

核心思路

利用对数运算性质 $\ln a^b = b\ln a$ ，将原函数的“指数”“积商”形式转化为“和 / 差”形式，再通过复合函数求导法则（链式法则）简化计算。本质是将复杂高次运算拆解为简单加减乘除求导，避免直接处理高阶项。

基本步骤

取自然对数：
对原函数 y = f(x) 两边取 \ln，化为 \ln y = \ln f(x)。
- 幂指函数 $y = u(x)^{v(x)}$ 可进一步化为 $\ln y = v(x)\ln u(x)$ ，将“指数”转化为“乘积”。
对 $x$ 求导：
左边：根据复合函数求导， $\frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{1}{y}y'$ ；
右边：对转化后的对数式（如 $v(x)\ln u(x)$ ）用乘积法则求导，得到 $v'(x)\ln u(x) + v(x)\cdot \frac{u'(x)}{u(x)}$ 。
解出导数 $y'$ ：
整理得 $y' = y \cdot \left[ \text{右边求导结果} \right]$ ，代入 $y$ 的表达式即可。

注意要点

定义域：取对数前需确保 $y > 0$ ，若 $y$ 可能为负（如含负数的幂），可对 $\ln |y|$ 取对数（去绝对后求导结果不变）。
繁琐转化：通过对数降次后，复杂的积商或高次求导转化为简单加减乘除，尤其适合连乘积或高次数幂的函数。

微分中值定理

费马引理

若函数 $f(x)$ 满足：

在点 $x_0$ 处可导；
在点 $x_0$ 处取得极值（极大值或极小值），
则必有 $f'(x_0) = 0$ 。
（注：可导极值点处导数为零，是后续中值定理的重要基础。）

罗尔定理

若函数 $f(x)$ 满足：

在闭区间 $[a, b]$ 上连续；
在开区间 $(a, b)$ 内可导；
端点函数值相等，即 $f(a) = f(b)$ ，
则存在 $\xi \in (a, b)$ ，使得 $f'(\xi) = 0$ 。
（几何意义：两端点等高的连续可导曲线，至少存在一点切线水平。）

拉格朗日中值定理

若函数 $f(x)$ 满足：

在闭区间 $[a, b]$ 上连续；
在开区间 $(a, b)$ 内可导，
则存在 $\xi \in (a, b)$ ，使得

\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(\xi)

（几何意义：曲线弧 $AB$ 上存在一点，其切线斜率等于弦 $AB$ 的斜率；是罗尔定理去掉端点值相等条件后的推广。）

柯西中值定理

若函数 $f(x), F(x)$ 满足：

在闭区间 $[a, b]$ 上连续；
在开区间 $(a, b)$ 内可导，且 $F'(x) \neq 0$ ，
则存在 $\xi \in (a, b)$ ，使得

\frac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)} = \frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}

（注：当 $F(x) = x$ 时，退化为拉格朗日中值定理，体现对单函数中值定理的进一步推广。）

泰勒公式

皮亚诺型余项泰勒公式

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，则有

f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x)

其中余项 $R_n(x) = o\left((x - x_0)^n\right)$ （当 $x \to x_0$ 时），称为皮亚诺余项（高阶无穷小余项）。

特别地，当 $x_0 = 0$ 时，上述公式称为麦克劳林公式：

f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n)

（适用场景：函数在某点附近的局部多项式逼近，关注极限或无穷小量分析。）

拉格朗日型余项泰勒公式

设函数 $f(x)$ 在含 $x_0$ 的区间 $(a, b)$ 内 $n+1$ 阶可导，则对 $\forall x \in (a, b)$ ，存在 $\xi$ （ $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间），使得

f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x)

其中余项 $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1}$ ，称为拉格朗日余项。
（适用场景：函数在区间上的整体逼近与误差估计，余项有明确表达式。）

导数应用

函数的单调性

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导。

若在 $(a,b)$ 内 $f'(x) > 0$ ，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调增加；
若在 $(a,b)$ 内 $f'(x) < 0$ ，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调减少。
（注：闭区间连续性保证了端点处函数值符合整体单调性趋势。）

函数的极值

定义（极值） 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0, \delta)$ （ $\delta > 0$ ）内有定义，

若对 $\forall x \in U(x_0, \delta)$ ，恒有 $f(x) \geq f(x_0)$ ，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取极小值；
若对 $\forall x \in U(x_0, \delta)$ ，恒有 $f(x) \leq f(x_0)$ ，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取极大值。
极值的第一充分条件 设函数 $f(x)$ 在去心邻域 $\mathring{U}(x_0, \delta)$ 内可导，且 $f'(x_0) = 0$ （或 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续但导数不存在）。
若 $x < x_0$ 时 $f'(x) \geq 0$ ， $x > x_0$ 时 $f'(x) \leq 0$ ，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取极大值；
若 $x < x_0$ 时 $f'(x) \leq 0$ ， $x > x_0$ 时 $f'(x) \geq 0$ ，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取极小值；
若 $f'(x)$ 在 $x_0$ 两侧符号不变，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处无极值。
极值的第二充分条件 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处满足 $f'(x_0) = 0$ ，且二阶导数 $f''(x_0) \neq 0$ 。
若 $f''(x_0) < 0$ ，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取极大值；
若 $f''(x_0) > 0$ ，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取极小值。

函数的最大最小值

闭区间上连续函数的最值求解

步骤1：求出 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内的所有驻点（ $f'(x)=0$ 的点）和不可导点，记为 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 。
步骤2：计算上述点及区间端点的函数值： $f(x_1), f(x_2), \cdots, f(x_n), f(a), f(b)$ 。
步骤3：比较所有函数值，最大者为最大值，最小者为最小值。
注：若连续函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内仅有唯一极值点，则该极值点必为函数在 $[a,b]$ 上的最值点（极大值即最大值，极小值即最小值）。

最值应用题

步骤1：根据实际问题建立目标函数 $y = f(x)$ ，明确自变量 $x$ 的实际意义及定义域。
步骤2：利用导数求目标函数在定义域内的极值点（驻点或不可导点），结合实际意义判断最值点。

曲线的凹凸性

凹函数：若对区间 $I$ 上任意两点 $x_1, x_2$ ，恒有 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) < \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ ，则称曲线 $y=f(x)$ 在 $I$ 上是凹的（图像向上凸）。
凸函数：若恒有 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) > \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ ，则称曲线 $y=f(x)$ 在 $I$ 上是凸的（图像向下凸）。

凹凸性的导数判定

若在区间 $I$ 上 $f''(x) > 0$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在 $I$ 上是凹的；
若在区间 $I$ 上 $f''(x) < 0$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在 $I$ 上是凸的。

拐点

连续曲线 $y=f(x)$ 上凹弧与凸弧的分界点 $(x_0, f(x_0))$ 称为拐点。
判定条件：
- 必要条件：若 $(x_0, f(x_0))$ 是拐点，则 $f''(x_0)=0$ 或 $f''(x_0)$ 不存在；
- 充分条件：若 $f''(x)$ 在 $x_0$ 两侧变号，则 $(x_0, f(x_0))$ 是拐点。

曲线的渐近线

水平渐近线：若 $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = A$ （或 $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=A$ ， $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=A$ ），则直线 $y=A$ 是曲线 $y=f(x)$ 的水平渐近线。
垂直渐近线：若 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \infty$ （或单侧极限为 $\infty$ ），则直线 $x=x_0$ 是曲线 $y=f(x)$ 的垂直渐近线。
斜渐近线：若 $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ （ $a \neq 0$ ），且 $\lim\limits_{x \to \infty} [f(x) - ax] = b$ ，则直线 $y=ax+b$ 是曲线 $y=f(x)$ 的斜渐近线。

曲线的弧微分与曲率

曲率公式：设曲线 $y=f(x)$ 二阶可导，则曲率 $K = \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$ 。
曲率半径：曲率的倒数 $R = \frac{1}{K}$ （当 $K=0$ 时，曲率半径为无穷大，曲线局部近似直线）。

渐进线

若曲线 $y = f(x)$ 存在斜渐近线 $y = ax + b$ ，则需满足
系数 $a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ 存在且非零（或有限）；
截距 $b = \lim_{x \to \infty} [f(x) - ax]$ 存在。

不定积分

不定积分的概念与性质

原函数

若函数 (F (x) )的导数等于 ( f (x) )，即 ( F' (x) = f (x) )，则称 ( F (x) )为 ( f (x) ) 的一个原函数。

例如：若 ( f (x) = x^2 )，则 ( F (x) = \frac{1}{3}x^3 + 1 ) 是 ( f (x) ) 的一个原函数（常数项不影响导数结果）。

不定积分

函数 (f (x) )的所有原函数的集合称为其不定积分，记作 ( \int f (x) , dx = F (x) + C )，其中 ( C) 为积分常数。

几何意义：不定积分 ( \int f (x) , dx ) 表示一族平行曲线（积分曲线族），这些曲线在横坐标相同的点处切线斜率均为 ( f (x) )（即曲线 ( F (x) + C ) 可由 ( F (x) ) 沿 ( y )-轴平移得到）。
核心关系：若 ( G (x) ) 和 ( F (x) ) 均为 ( f (x) ) 的原函数，则 ( G (x) - F (x) = C )（常数），即同一函数的原函数之间相差一个常数。

原函数存在性

定理 1：若 ( f (x) ) 在区间 ( I ) 上连续，则 ( f (x) ) 在 ( I ) 上一定存在原函数（连续函数必有原函数）。
定理 2：若 ( f (x) ) 在区间 ( I ) 上存在第一类间断点（可去间断点或跳跃间断点），则 ( f (x) ) 在 ( I ) 上不存在原函数（第一类间断点函数没有原函数）。
注：存在原函数是函数可积的前提之一，但原函数存在不意味着函数一定连续（如含第二类间断点的函数可能存在原函数）。

不定积分的性质

对不定积分求导，结果为被积函数： $\left(\int f(x) \mathrm{d}x \right)' = f(x)$ ；微分运算与不定积分的关系为 $\mathrm{d}\int f(x) \mathrm{d}x = f(x) \mathrm{d}x$ 。

函数导数的积分等于原函数加上常数： $\int f'(x) \mathrm{d}x = f(x) + C$ ；微分的积分同样有 $\int \mathrm{d}f(x) = f(x) + C$ 。

和或差的不定积分具有线性可加性： $\int [f(x) \pm g(x)] \mathrm{d}x = \int f(x) \mathrm{d}x \pm \int g(x) \mathrm{d}x$ 。

不定积分的基本公式

$\int 0 \, dx = C$
$\int x^\alpha \, dx = \frac{1}{\alpha + 1} x^{\alpha + 1} + C \quad (\alpha \neq -1)$
$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$
$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \neq 1)$
$\int e^x \, dx = e^x + C$
$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$
$\int \cos x \, dx = \sin x + C$
$\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C$
$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$
$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$
$\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C$
$\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C$
$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin x + C$
$\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan x + C$
$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \arcsin \frac{x}{a} + C \quad (a > 0)$
$\int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C \quad (a > 0)$
$\int \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx = \frac{1}{2a} \ln\left| \frac{x - a}{x + a} \right| + C \quad (a > 0)$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} \, dx = \ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C \quad (a > 0)$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} \, dx = \ln|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C \quad (a > 0)$
$\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{\pi a^2}{4} \quad (a \geq 0)$
$\int_0^a \sqrt{2ax - x^2} \, dx = \frac{\pi a^2}{4} \quad (a \geq 0)$
$\int_0^{2a} \sqrt{2ax - x^2} \, dx = \frac{\pi a^2}{2} \quad (a \geq 0)$

三种主要积分法

第一类换元法（凑微分法）

已知函数 $f(u)$ 的原函数为 $F(u)$ ，即 $\int f(u) \, du = F(u) + C$ ，其中 $C$ 为积分常数。

当被积函数呈现复合函数与内层函数导数乘积的形式时，可引入中间变量 $u = \varphi(x)$ ，通过微分形式的转换简化积分计算。
此时，内层函数的导数 $\varphi'(x) \, dx$ 可表示为 $du$ ，即 $\varphi'(x) \, dx = d\varphi(x) = du$ 。
代入积分式可得：

\int f\left[ \varphi(x) \right] \varphi'(x) \, dx = \int f\left[ \varphi(x) \right] d\varphi(x) = F\left[ \varphi(x) \right] + C

核心思想是通过变量替换 $u = \varphi(x)$ ，将关于 $x$ 的积分转化为关于 $u$ 的积分，再利用已知的原函数 $F(u)$ 求解，最后回代 $u = \varphi(x)$ 得到结果。

第二类换元法

定理：设函数 $x = \varphi(t)$ 是单调的、可导的函数，且其导数 $\varphi'(t) \neq 0$ 。若 $\int f[\varphi(t)]\varphi'(t)\,dt = F(t) + C$ ，则有

\int f(x)\,dx = \int f[\varphi(t)]\varphi'(t)\,dt = F(t) + C = F[\varphi^{-1}(x)] + C

其中 $t = \varphi^{-1}(x)$ 为 $x = \varphi(t)$ 的反函数，即换元后需通过反函数将结果回代成关于 $x$ 的表达式。
常见换元形式：

当被积函数中含 $\sqrt{a^2 - x^2}$ （ $a > 0$ ）时，通常令 $x = a\sin t$ （或 $x = a\cos t$ ），利用三角恒等式 $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ 消去根号，此时 $\sqrt{a^2 - x^2} = a\cos t$ （或 $a\sin t$ ）。
当被积函数中含 $\sqrt{a^2 + x^2}$ （ $a > 0$ ）时，通常令 $x = a\tan t$ ，利用 $1 + \tan^2 t = \sec^2 t$ 化简根号，此时 $\sqrt{a^2 + x^2} = a\sec t$ 。
当被积函数中含 $\sqrt{x^2 - a^2}$ （ $a > 0$ ）时，通常令 $x = a\sec t$ ，利用 $\sec^2 t - 1 = \tan^2 t$ 化简根号，此时 $\sqrt{x^2 - a^2} = a\tan t$ （需注意 $t$ 的取值范围以保证开方后表达式的符号）。
例如，对于积分 $\int \sqrt{1 - x^2}dx$ ，即可尝试上述第一种换元方式，通过设定 $x = \sin t$ 将其转化为三角函数的积分。

分部积分法

分部积分法的核心公式为： $\int u\mathrm{d}v = uv - \int v\mathrm{d}u$ 。该公式由乘积函数求导法则 $(uv)'= u'v + uv'$ 积分推导而来，通过将复杂积分转化为易求解的形式实现积分计算
适用条件：主要用于两类不同类型函数乘积的积分计算。常见应用场景包括：

多项式函数与指数函数乘积形式： $\int p_n(x)e^{\alpha x}\mathrm{d}x$
多项式函数与三角函数乘积形式： $\int p_n(x)\sin\alpha x\mathrm{d}x$ 、 $\int p_n(x)\cos\alpha x\mathrm{d}x$ （其中 $p_n(x)$ 表示n次多项式）
多项式函数与对数/反三角函数乘积形式： $\int p_n(x)\ln x\mathrm{d}x$ 、 $\int p_n(x)\arctan x\mathrm{d}x$ 、 $\int p_n(x)\arcsin x\mathrm{d}x$
指数函数与三角函数乘积形式： $\int e^{\alpha x}\sin\beta x\mathrm{d}x$ 、 $\int e^{\alpha x}\cos\beta x\mathrm{d}x$ （此类积分通常需连续应用分部积分法两次）

典型示例

常见基础积分示例：

$\int xe^x\mathrm{d}x$
$\int x\sin x\mathrm{d}x$
$\int e^x\ln x\mathrm{d}x$

典型例题

$\int xe^{2x}\mathrm{d}x$
$\int x^2\sin x\mathrm{d}x$
$\int x\ln x\mathrm{d}x$
$\int e^x\sin^2 x\mathrm{d}x$
（注：计算时需注意 $u$ 和 $\mathrm{d}v$ 的合理选择，遵循"反对幂指三"的优先级原则进行分部设定）

三类常见可积函数积分

有理函数积分\int R(x)\mathrm{d}x$

一般法（部分分式法）
将有理函数 $R(x)$ 分解为最简分式（多项式与一次/二次分式之和）后分项积分，是通用求解策略。
★特殊方法（加项减项拆分或凑微分降幂）
对分子分母为多项式的分式，可通过代数变形（如分子凑分母导数形式）或拆项简化，例如：
$\int \frac{x}{x^2+2x+3}\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\int \frac{(2x+2)-2}{x^2+2x+3}\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\ln|x^2+2x+3| - \int \frac{1}{(x+1)^2+2}\mathrm{d}(x+1)$

三角有理式积分\int R(\sin x,\cos x)\mathrm{d}x$

一般方法（万能代换）
令 $t = \tan\frac{x}{2}$ （万能代换公式），则：
$\sin x = \frac{2t}{1+t^2},\ \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2},\ \mathrm{d}x = \frac{2}{1+t^2}\mathrm{d}t$
积分转化为有理函数积分：
$\int R(\sin x,\cos x)\mathrm{d}x = \int R\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\frac{2}{1+t^2}\mathrm{d}t$
★特殊方法（基于函数对称性的换元）
根据被积函数奇偶性选择代换：
- 若 $R(-\sin x,\cos x) = -R(\sin x,\cos x)$ ，令 $u = \cos x$ （如 $\int \frac{\sin x}{1+\cos^2 x}\mathrm{d}x$ ）
- 若 $R(\sin x,-\cos x) = -R(\sin x,\cos x)$ ，令 $u = \sin x$ （如 $\int \frac{\cos x}{1+\sin^3 x}\mathrm{d}x$ ）
- 若 $R(-\sin x,-\cos x) = R(\sin x,\cos x)$ ，令 $u = \tan x$ （如 $\int \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}\mathrm{d}x$ ）

简单无理函数积分\int R\left(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)\mathrm{d}x$

根式代换法
令 $t = \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$ ，解出 $x = \frac{dt^n - b}{a - ct^n}$ ，则 $\mathrm{d}x$ 可表示为 $t$ 的有理函数，积分化为 $\int R(t) \cdot \text{有理函数}(t)\mathrm{d}t$ 。
例如 $\int \frac{1}{x}\sqrt{\frac{1+x}{x}}\mathrm{d}x$ ，令 $t = \sqrt{\frac{1+x}{x}}$ ，则 $x = \frac{1}{t^2-1}$ ， $\mathrm{d}x = -\frac{2t}{(t^2-1)^2}\mathrm{d}t$ ，积分转化为 $\int (t^2-1) \cdot t \cdot \left(-\frac{2t}{(t^2-1)^2}\right)\mathrm{d}t$ 。

定积分

概念

定积分定义为黎曼和的极限：
$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \triangleq \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$
其中， $\lambda = \max\{\Delta x_1, \Delta x_2, \dots, \Delta x_n\}$ 为小区间最大长度， $\xi_i$ 是第 $i$ 个小区间上的任意点。

定积分存在的充分条件

$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续；（若 $f(x)$ 单调，则 $f(x)$ 可积）
$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界且只有有限个间断点；
$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上仅有有限个第一类间断点；

几何意义

当 $f(x) > 0$ 时， $\int_a^b f(x) \, dx$ 表示由曲线 $y = f(x)$ 、 $x$ 轴及直线 $x = a, x = b$ 围成的曲边梯形面积；
当 $f(x) < 0$ 时， $\int_a^b f(x) \, dx$ 表示上述曲边梯形面积的相反数（即 $-S$ ）；

性质

不等式

若 $f(x) \leq g(x)$ ，则 $\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \leq \int_{a}^{b} g(x) \, \mathrm{d}x$ ；
若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续， $m \leq f(x) \leq M$ ，则 $m(b - a) \leq \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \leq M(b - a)$ ；
绝对值不等式： $\left| \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \right| \leq \int_{a}^{b} |f(x)| \, \mathrm{d}x$ 。
中值定理
积分中值定理：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则存在 $\xi \in (a, b)$ ，使得 $\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = f(\xi)(b - a)$ ；
推广的积分中值定理：若 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续且 $g(x)$ 不变号，则存在 $\xi \in [a, b]$ ，使得 $\int_{a}^{b} f(x)g(x) \, \mathrm{d}x = f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) \, \mathrm{d}x$ 。

积分上限的函数

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则积分上限函数 $\int_{a}^{x} f(t) \,\mathrm{d}t$ 在 $[a, b]$ 上可导，且

\left( \int_{a}^{x} f(t) \,\mathrm{d}t \right)' = f(x).

对变限积分 $\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(t) \,\mathrm{d}t$ ，其导数为

\left( \int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(t) \,\mathrm{d}t \right)' = f(\psi(x)) \cdot \psi'(x) - f(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x).

设 $f(x)$ 连续：
（1）若 $f(x)$ 为奇函数，则 $\int_{0}^{x} f(t) \,\mathrm{d}t$ 为偶函数；
（2）若 $f(x)$ 为偶函数，则 $\int_{0}^{x} f(t) \,\mathrm{d}t$ 为奇函数。

定积分的计算

牛顿 - 莱布尼兹公式：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则定积分的值可通过原函数在区间端点的函数值差计算：

\int_a^b f(x)\text{d}x = F(b) - F(a)

换元法：通过变量替换简化积分。设 $x = \varphi(t)$ 单调可导，且 $\varphi(\alpha) = a$ ， $\varphi(\beta) = b$ ，则：

\int_a^b f(x)\text{d}x = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \varphi'(t)\text{d}t

需注意同步替换被积函数、微分元与积分限。

分部积分法：适用于两类函数乘积的积分。设 $u(x), v(x)$ 连续可导，则：

\int_a^b u\text{d}v = \left. uv \right|_a^b - \int_a^b v\text{d}u

关键在于合理选择 $u$ 和 $v$ ，使右侧积分更易计算。

利用奇偶性与周期性：

对称区间积分：若 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 可积，则

\int_{-a}^a f(x)\text{d}x = \begin{cases} 0, & f(x) \text{ 为**奇函数**}, \\ 2\int_0^a f(x)\text{d}x, & f(x) \text{ 为**偶函数**}. \end{cases}

周期函数积分：若 $f(x)$ 周期为 $T$ ，则对任意 $a$ ，有

\int_a^{a+T} f(x)\text{d}x = \int_0^T f(x)\text{d}x

常用积分公式：

Wallis公式：对 $n > 1$ 的正整数，

\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x\text{d}x = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x\text{d}x = \begin{cases} \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, & n \text{ 为偶数}, \\ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3}, & n \text{ 为奇数}. \end{cases}

例如 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x\text{d}x = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$ 。

含 $x\sin x$ 的积分：对连续函数 $f$ ，有

\int_0^\pi x f(\sin x)\text{d}x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x)\text{d}x

可通过替换 $t = \pi - x$ 推导，简化含 $x$ 与三角函数乘积的积分。

变上限积分求导公式及核心应用场景

基本公式

若函数 $f(t)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续， $\varphi(x)$ 在区间 $[\alpha, \beta]$ 上可导，且当 $x \in [\alpha, \beta]$ 时， $\varphi(x) \in [a, b]$ ，则 变上限积分函数

F(x) = \int_a^{\varphi(x)} f(t) dt

对 $x$ 的导数为：

F'(x) = f\left( \varphi(x) \right) \cdot \varphi'(x)

本质：复合函数求导法则的应用。将 $F(x)$ 视为 $F(u) = \int_a^u f(t) dt$ 与 $u = \varphi(x)$ 的复合，故

F'(x) = F'(u) \cdot u' = f(u) \cdot \varphi'(x) = f\left( \varphi(x) \right) \cdot \varphi'(x)

特殊情形：若上限为 $x$ （即 $\varphi(x) = x$ ），则 $\varphi'(x) = 1$ ，公式简化为：

\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x)

（此为微积分基本定理的直接推论）。

上下限均为函数的情形

若积分上下限均为 $x$ 的可导函数，即

F(x) = \int_{\psi(x)}^{\varphi(x)} f(t) dt

则可拆分为两个变上限积分的差：

F(x) = \int_a^{\varphi(x)} f(t) dt - \int_a^{\psi(x)} f(t) dt

求导后得：

F'(x) = f\left( \varphi(x) \right) \cdot \varphi'(x) - f\left( \psi(x) \right) \cdot \psi'(x)

被积函数不含 $x$ ：公式仅适用于被积函数中不含求导变量 $x$ 的情形。若含 $x$ ，需先通过变量替换或提取常数转化（如例26中处理右侧积分 $x \int_0^x \sin t^2 dt$ ）。
复合函数求导：上限 $\varphi(x)$ 是 $x$ 的函数时，必须乘以上限对 $x$ 的导数 $\varphi'(x)$ ，不可遗漏。

无穷区间上的反常积分

无穷区间上的反常积分是定积分概念在积分区间长度无限延伸情况下的推广。
定义1：积分上限为无穷大的反常积分，通过取上限变量 $t$ 趋于正无穷时，变上限积分的极限来定义，即

\int_{a}^{+\infty} f(x)dx = \lim\limits_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} f(x)dx

若此极限存在且为有限值，则称该反常积分收敛；否则，称其发散。

定义2：积分下限为无穷大的反常积分，类似地通过取下限变量 $t$ 趋于负无穷时，变下限积分的极限来定义，即

\int_{-\infty}^{b} f(x)dx = \lim\limits_{t \to -\infty} \int_{t}^{b} f(x)dx

其敛散性同样由该极限是否存在来判定。

定义3：积分上下限均为无穷大的反常积分，定义为两个单侧无穷区间反常积分的和（通常取0作为划分点），即

\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \int_{-\infty}^{0} f(x)dx + \int_{0}^{+\infty} f(x)dx

此时，要求等式右端的两个反常积分都收敛，该反常积分才收敛；若其中至少有一个发散，则整个积分发散。

无穷区间反常积分的判别法

为判断无穷区间上反常积分的敛散性，比较判别法是常用工具之一。

定理1 (比较判别法)

设函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在区间 $[a, +\infty)$ 上连续，且满足 $0 \leq f(x) \leq g(x)$ ：

若反常积分 $\int_{a}^{+\infty} g(x)dx$ 收敛，则 $\int_{a}^{+\infty} f(x)dx$ 也收敛（可理解为“大的收敛，小的也收敛”）；
若反常积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x)dx$ 发散，则 $\int_{a}^{+\infty} g(x)dx$ 也发散（可理解为“小的发散，大的也发散”）。
此判别法通过将被积函数与一个已知敛散性的函数比较，推断所讨论积分的敛散性。

定理2 (比较判别法的极限形式)

设函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在区间 $[a, +\infty)$ 上非负连续，且 $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lambda$ ：

当 $\lambda > 0$ 时， $\int_{a}^{+\infty} f(x)dx$ 与 $\int_{a}^{+\infty} g(x)dx$ 同敛散；
当 $\lambda = 0$ 时，若 $\int_{a}^{+\infty} g(x)dx$ 收敛，则 $\int_{a}^{+\infty} f(x)dx$ 收敛；
当 $\lambda = +\infty$ 时，若 $\int_{a}^{+\infty} g(x)dx$ 发散，则 $\int_{a}^{+\infty} f(x)dx$ 发散。

常用结论

参考积分 $\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^p}dx$ （ $a > 0$ ）的敛散性：

当 $p > 1$ 时收敛；
当 $p \leq 1$ 时发散。
该积分常作为比较判别法中的“标准”参考函数。

无界函数的反常积分

当函数在积分区间内某点附近无界时（该点称为瑕点），相应的积分需按反常积分处理：

若瑕点为区间左端点 $a$ ，则定义反常积分

\int_a^b f(x)dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)dx

极限存在时称积分收敛，否则发散。

若瑕点为区间右端点 $b$ ，则定义反常积分

\int_a^b f(x)dx = \lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x)dx

若瑕点位于区间内部 $c$ （ $a < c < b$ ），则分解为两个反常积分之和：

\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx

仅当右端两个积分都收敛时，左端积分收敛。

敛散性判别法

比较判别法

设 $f(x), g(x)$ 在 $(a,b]$ 上连续，且 $0 \leq f(x) \leq g(x)$ ：

若 $\int_a^b g(x)dx$ 收敛，则 $\int_a^b f(x)dx$ 收敛（“大收小收”）；
若 $\int_a^b f(x)dx$ 发散，则 $\int_a^b g(x)dx$ 发散（“小发大发”）。

比较判别法的极限形式

设 $f(x), g(x)$ 在 $(a,b]$ 非负连续，且 $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lambda$ ：

当 $\lambda > 0$ 时， $\int_a^b f(x)dx$ 与 $\int_a^b g(x)dx$ 敛散性一致；
当 $\lambda = 0$ 时，若 $\int_a^b g(x)dx$ 收敛，则 $\int_a^b f(x)dx$ 收敛；
当 $\lambda = +\infty$ 时，若 $\int_a^b g(x)dx$ 发散，则 $\int_a^b f(x)dx$ 发散。

常用结论

对形如 $\int_a^b \frac{1}{(x-a)^p}dx$ 或 $\int_a^b \frac{1}{(b-x)^p}dx$ 的积分（瑕点为 $a$ 或 $b$ ）：

当 $p < 1$ 时，积分收敛；
当 $p \geq 1$ 时，积分发散。

定积分的应用

几何应用

平面图形的面积
平面区域面积可通过二重积分 $S = \iint_D d\sigma$ 计算，根据坐标系不同分为：
- 直角坐标系下：若区域 $D$ 由曲线 $y=f(x), y=g(x)$ （ $f(x) \geq g(x)$ ）及 $x=a, x=b$ （ $a < b$ ）围成，则
  $S = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$
- 极坐标系下：若区域 $D$ 由曲线 $\rho = \rho(\theta)$ 及 $\theta=\alpha, \theta=\beta$ （ $\alpha < \beta$ ）围成，则
  $S = \frac{1}{2} \int_\alpha^\beta \rho^2(\theta) d\theta$
旋转体体积
由平面区域 $D$ 绕轴旋转生成的体积可表示为 $V = 2\pi \iint_D r(x,y) d\sigma$ （ $r(x,y)$ 为点到旋转轴距离），常见情形：
- 区域 D 由 y=f(x)（f(x) \geq 0）、x=a, x=b 围成：
  - 绕 $x$ 轴旋转： $V_x = \pi \int_a^b f^2(x) dx$
  - 绕 $y$ 轴旋转： $V_y = 2\pi \int_a^b x f(x) dx$
曲线弧长
不同方程形式下的弧长计算公式：
- 直角坐标： $C: y=y(x)$ （ $a \leq x \leq b$ ）， $s = \int_a^b \sqrt{1 + y'^2} dx$
- 参数方程： $C: \begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases}$ （ $\alpha \leq t \leq \beta$ ）， $s = \int_\alpha^\beta \sqrt{x'^2 + y'^2} dt$
- 极坐标： $C: \rho = \rho(\theta)$ （ $\alpha \leq \theta \leq \beta$ ）， $s = \int_\alpha^\beta \sqrt{\rho^2 + \rho'^2} d\theta$
旋转体侧面积（数三不要求）
曲线 $y=f(x)$ 绕 $x$ 轴旋转一周的侧面积：
$S = 2\pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + f'^2(x)} dx$

物理应用（数三不要求）

压力：计算液体对薄板的压力
变力做功：沿直线运动的物体所受变力的做功
引力：物体间万有引力的计算（需结合具体受力模型）

常微分方程

常微分方程的基本概念

微分方程：含有未知函数及其导数（或微分）的方程。例如， $y' = y + k$ 是一个简单的一阶常微分方程，其中 $y'$ 表示未知函数 $y$ 的一阶导数。
微分方程的阶：指方程中未知函数最高阶导数的阶数。例如，方程 $y''' + 3y'' - 2y' + y = \sin x$ 中最高阶导数为三阶导数 $y'''$ ，故该微分方程的阶为 3。
微分方程的解：将某一函数及其导数代入微分方程后，能使方程在自变量的某一区间内恒成立的函数。
微分方程的通解：含有与方程阶数相同的独立任意常数的解，它概括了微分方程所有解的一般形式。
微分方程的特解：通过给定条件（如初始条件）确定通解中任意常数的具体值后所得到的不含任意常数的解。
初始条件：用于确定通解中任意常数的附加条件，通常给出未知函数及其各阶导数在某一特定点处的函数值，例如 $y(x_0) = y_0$ 、 $y'(x_0) = y_1$ 等。
积分曲线：微分方程解函数在坐标平面上的图形。每个特解对应一条积分曲线，而通解所表示的积分曲线族则整体反映了方程所有解的几何特征。

一阶微分方程

可分离变量的方程
标准形式： $y' = f(x)g(y)$ （或等价于 $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ ）。
求解思路：通过分离变量将方程转化为两边可积分的形式。具体步骤为：当 $g(y) \neq 0$ 时，化方程为 $\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$ ，再对等式两端分别积分，即 $\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx$ ，积分后可得含任意常数的通解。
齐次方程
标准形式： $\frac{dy}{dx} = \varphi\left(\frac{y}{x}\right)$ ，其中 $\varphi$ 是关于 $\frac{y}{x}$ 的连续函数。
求解关键：通过变量代换转化为可分离变量方程。令 $u = \frac{y}{x}$ ，则 $y = xu$ ，对其求导得 $\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$ 。代入原方程后可化为 $u + x\frac{du}{dx} = \varphi(u)$ ，整理得 $\frac{du}{\varphi(u) - u} = \frac{dx}{x}$ ，进而通过积分求解 $u$ ，再代回 $u = \frac{y}{x}$ 得原方程通解。
线性方程
标准形式： $y' + P(x)y = Q(x)$ ，其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 是关于 $x$ 的连续函数，方程关于未知函数 $y$ 及其导数 $y'$ 为线性结构。
通解公式：通过积分因子法推导。积分因子为 $e^{\int P(x)dx}$ ，方程两端同乘该积分因子后，左端可化为 $\left(ye^{\int P(x)dx} \right)'$ ，积分得通解：

$y = e^{-\int P(x)dx} \left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx} dx + C \right)$ ，

其中 $C$ 为任意常数。
可降阶方程

形式一： $y'' = f(x)$
此类方程的二阶导数仅为自变量 $x$ 的函数。求解方法为直接对 $x$ 进行两次积分：
首次积分得 $y' = \int f(x) \, dx + C_1$ （ $C_1$ 为积分常数），再次积分可得原方程通解。
示例：对于 $y'' = e^x$ ，首次积分： $y' = \int e^x \, dx + C_1 = e^x + C_1$ ；再次积分： $y = \int (e^x + C_1) \, dx + C_2 = e^x + C_1 x + C_2$ （ $C_2$ 为积分常数）。
形式二： $y'' = f(x, y')$
方程不显含未知函数 $y$ ，仅含 $x$ 和一阶导数 $y'$ 。通过变量替换简化阶数：设 $y' = P$ （令 $P$ 为新的未知函数，依赖于 $x$ ），则二阶导数 $y'' = \frac{dP}{dx}$ 。代入原方程后，可将其降为关于 $P$ 和 $x$ 的一阶微分方程： $\frac{dP}{dx} = f(x, P)$ 。求解此一阶方程得到 $P(x)$ 后，再积分 $y' = P(x)$ 即可得原方程通解。
形式三： $y'' = f(y, y')$
方程不显含自变量 $x$ ，仅含未知函数 $y$ 及其一阶导数 $y'$ 。通过变量替换降阶：设 $y' = P$ （此时视 $P$ 为 $y$ 的函数，即 $P = P(y)$ ），则二阶导数需用复合函数求导法则转换：
$y'' = \frac{dP}{dx} = \frac{dP}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = P \frac{dP}{dy}$ （利用链式法则及 $y' = P$ ）。
代入原方程后，转化为关于 $P$ 和 $y$ 的一阶微分方程： $P \frac{dP}{dy} = f(y, P)$ 。求解此方程得到 $P(y)$ 后，分离变量并积分 $\frac{dy}{dx} = P(y)$ 即可得原方程通解。

高阶线性微分方程

线性微分方程的解的结构

齐次方程： $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$
- 若 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是该方程的两个线性无关特解（判断依据： $y_1(x)/y_2(x)$ 不为常数），则其通解可表示为 $y = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)$ ，其中 $C_1,C_2$ 为任意常数。
非齐次方程： $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$
- 通解结构：对应齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解 $y^*(x)$ 之和，即 $y = C_1y_1(x) + C_2y_2(x) + y^*(x)$ 。
- 特解性质：若 $y_1^*(x)$ 和 $y_2^*(x)$ 是该方程的两个特解，则 $y_2^*(x) - y_1^*(x)$ 是对应齐次方程的解。
- 叠加原理：若 $y_1^*(x)$ 和 $y_2^*(x)$ 分别是方程 $y'' + p(x)y' + q(x)y = f_1(x)$ 和 $y'' + p(x)y' + q(x)y = f_2(x)$ 的特解，则 $y_1^*(x) + y_2^*(x)$ 是方程 $y'' + p(x)y' + q(x)y = f_1(x) + f_2(x)$ 的特解。

常系数齐次线性微分方程

方程形式：
二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式为
$y'' + py' + qy = 0$ ，
其中 $p, q$ 为常数。
特征方程与通解：
求解对应特征方程 $r^2 + pr + q = 0$ ，设 $r_1, r_2$ 为特征根，根据根的类型确定通解：
- 不等实根（ $r_1 \neq r_2$ ）：
  通解为 $y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$ ，
  基本解组为 $e^{r_1x}$ 和 $e^{r_2x}$ （线性无关）。
- 相等实根（ $r_1 = r_2 = r$ ）：
  通解为 $y = e^{rx}(C_1 + C_2x)$ ，
  基本解组为 $e^{rx}$ 和 $xe^{rx}$ （通过常数变易法推导得到）。
- 共轭复根（ $r_{1,2} = \alpha \pm i\beta$ ， $\beta \neq 0$ ）：
  通解为 $y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)$ ，
  基本解组为 $e^{\alpha x}\cos\beta x$ 和 $e^{\alpha x}\sin\beta x$ （利用欧拉公式 $e^{i\beta x} = \cos\beta x + i\sin\beta x$ 简化得到）。

常系数非齐次线性微分方程

方程形式：
二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式为
$y'' + py' + qy = f(x)$ ，
其中 $p, q$ 为常数， $f(x)$ 为非齐次项（ $f(x) \neq 0$ ）。
特解构造方法（根据 $f(x)$ 的类型设特解）：
1. 类型 1： $f(x) = e^{\lambda x}P_m(x)$ （ $P_m(x)$ 为 $m$ 次多项式）
  - 特解形式：设 y^* = x^k Q_m(x)e^{\lambda x}，其中
    - $Q_m(x)$ 是与 $P_m(x)$ 同次（ $m$ 次）的待定多项式；
    - $k$ 为特征方程根 $\lambda$ 的重数（ $k=0$ ： $\lambda$ 非特征根； $k=1$ ： $\lambda$ 单根； $k=2$ ： $\lambda$ 二重根）。
2. 类型 2： $f(x) = e^{\alpha x}\left[P_l^{(1)}(x)\cos\beta x + P_n^{(2)}(x)\sin\beta x\right]$ （ $P_l^{(1)}, P_n^{(2)}$ 分别为 $l$ 次、 $n$ 次多项式）
  - 特解形式：设 y^* = x^k e^{\alpha x}\left[R_m^{(1)}(x)\cos\beta x + R_m^{(2)}(x)\sin\beta x\right]，其中
    - $m = \max\{l, n\}$ ， $R_m^{(1)}(x), R_m^{(2)}(x)$ 是 $m$ 次待定多项式；
    - $k$ 为特征方程复根 $\alpha + i\beta$ 的重数（ $k=0$ ：非特征根； $k=1$ ：是特征根）。

多元函数微分

多元函数的极限

$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = A$

注：点 $(x,y)$ 趋近于 $(x_0,y_0)$ 需满足 任意方式，即沿平面上所有可能路径趋近时，函数值均收敛于同一常数 $A$ 。

极限的基本性质

局部有界性：若极限存在，则在极限点的某个去心邻域内，函数值有界
保号性：若 $\lim f(x,y) = A > 0$ ，则存在邻域使得 $f(x,y) > 0$ （ $A < 0$ 时类似）
有理运算：满足极限的加减乘除法则（除法需保证分母极限非零）
极限与无穷小关系： $\lim f(x,y) = A \iff f(x,y) = A + \alpha(x,y)$ ，其中 $\alpha(x,y)$ 为无穷小量
夹逼准则：若 $g(x,y) \leq f(x,y) \leq h(x,y)$ 且 $\lim g = \lim h = A$ ，则 $\lim f = A$

多元函数的连续性

连续的概念

多元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续的定义：
$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0)$
（需同时满足：函数在该点有定义、极限存在、极限值等于函数值）

连续函数的性质

性质 1（四则运算封闭性）：
多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；
商函数在分母不为零的区域内连续。
性质 2（复合函数连续性）：
若外层函数与内层多元函数均连续，则复合函数仍为连续函数。
性质 3（初等函数连续性）：
多元初等函数（由基本初等函数经有限次四则运算和复合而成）在其 定义区域 内处处连续。
性质 4（最大值最小值定理）：
在 有界闭区域 $D$ 上连续的函数，必定在 $D$ 上取得最大值和最小值。
性质 5（介值定理）：
在 有界闭区域 $D$ 上连续的函数，必能取得介于最大值与最小值之间的任意值。

偏导数

偏导数的定义

设函数 $z = f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义：

对 $x$ 的偏导数：
固定 $y = y_0$ ，将函数视为关于 $x$ 的一元函数，其在 $x_0$ 处的导数为：
$f_x(x_0,y_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x,y_0) - f(x_0,y_0)}{\Delta x} = \left. \frac{d}{dx} f(x,y_0) \right|_{x=x_0}$
对 $y$ 的偏导数：
固定 $x = x_0$ ，将函数视为关于 $y$ 的一元函数，其在 $y_0$ 处的导数为：
$f_y(x_0,y_0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0,y_0+\Delta y) - f(x_0,y_0)}{\Delta y} = \left. \frac{d}{dy} f(x_0,y) \right|_{y=y_0}$

（偏导数符号也可表示为 $\frac{\partial f}{\partial x} \bigg|_{(x_0,y_0)}$ 或 $z_x \bigg|_{(x_0,y_0)}$ ）

二元函数偏导数的几何意义

设曲面 $z = f(x,y)$ 在点 $M_0(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ 处存在偏导数：

$f_x(x_0,y_0)$ 表示曲面与平面 $y = y_0$ 的交线在点 $M_0$ 处的切线对 $x$ 轴的斜率；
$f_y(x_0,y_0)$ 表示曲面与平面 $x = x_0$ 的交线在点 $M_0$ 处的切线对 $y$ 轴的斜率。

高阶偏导数

定义（以二阶偏导数为例）：
设 $z = f(x,y)$ 的一阶偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 仍可偏导，则：
$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x} \right)= f_{xx}(x,y), \quad \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)= f_{yy}(x,y)$
$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x} \right)= f_{xy}(x,y), \quad \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)= f_{yx}(x,y)$
定理 1（混合偏导数连续性条件）：
若函数 $z = f(x,y)$ 的二阶混合偏导数 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ 与 $\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$ 在区域 $D$ 内连续，则在 $D$ 内二者相等：
$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$

全微分

全微分的定义

设函数 $z = f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义，若函数增量 $\Delta z = f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y) - f(x_0,y_0)$ 可表示为：
$\Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho)$
其中 $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ ， $A,B$ 为与 $\Delta x,\Delta y$ 无关的常数， $o(\rho)$ 是当 $\rho \to 0$ 时比 $\rho$ 高阶的无穷小，则称 $z = f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微，且线性主部 $A\Delta x + B\Delta y$ 称为函数在该点的全微分，记作：
$dz = A\Delta x + B\Delta y$

可微的必要条件

若函数 $z = f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微，则：

函数在该点的两个偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x} \bigg|_{(x_0,y_0)}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y} \bigg|_{(x_0,y_0)}$ 必定存在；
全微分可表示为：
$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$
（其中 $dx = \Delta x, dy = \Delta y$ 分别为自变量 $x,y$ 的微分）

用定义判定可微性

判定函数 $z = f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 是否可微的步骤：

步骤1：验证偏导数 $f_x(x_0,y_0)$ 和 $f_y(x_0,y_0)$ 是否存在；
步骤2：验证极限是否满足：
$\lim_{(\Delta x,\Delta y) \to (0,0)} \frac{\Delta z - \left( f_x(x_0,y_0)\Delta x + f_y(x_0,y_0)\Delta y \right)}{\rho} = 0$
（若上述极限为0，则函数可微，否则不可微）

可微的充分条件

若函数 $z = f(x,y)$ 的两个一阶偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续，则函数 $z = f(x,y)$ 在该点必定可微。
（注：偏导数连续是可微的充分条件，但非必要条件）

连续、可偏导及可微之间的关系

一元函数

可导性与可微性：可导等价于可微；
可导性与连续性：可导必定连续，但连续不一定可导（如 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处连续但不可导）。

多元函数

偏导数连续性与可微性：
若函数的一阶偏导数在某点连续，则函数在该点可微（充分非必要条件）；
可微性的推论：
- 函数在某点可微 ⇒ 函数在该点连续；
- 函数在某点可微 ⇒ 函数在该点的偏导数存在；
可偏导性的局限性：
- 偏导数存在 ⇏ 函数连续（如 $f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$ 在原点处偏导数存在但不连续）；
- 偏导数存在 ⇏ 函数可微（如 $f(x,y)=\sqrt{|xy|}$ 在原点处偏导数存在但不可微）；
连续性的局限性：
函数连续 ⇏ 偏导数存在（如 $f(x,y)=|x|+|y|$ 在原点处连续但不可偏导）。

复合函数的微分法

定理：设 $u = u(x,y)$ , $v = v(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处对 $x$ 及 $y$ 的偏导数存在，函数 $z = f(u,v)$ 在对应点 $(u,v)$ 处有连续偏导数，则复合函数 $z = f[u(x,y),v(x,y)]$ 在点 $(x,y)$ 处的两个偏导数存在，且有：

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$
$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}$

全微分形式的不变性：
设函数 $z = f(u,v)$ , $u = u(x,y)$ 及 $v = v(x,y)$ 都有连续一阶偏导数，则复合函数 $z = f[u(x,y),v(x,y)]$ 的全微分为：
$\text{d}z = \frac{\partial z}{\partial x} \text{d}x + \frac{\partial z}{\partial y} \text{d}y = \frac{\partial z}{\partial u} \text{d}u + \frac{\partial z}{\partial v} \text{d}v$

隐函数的微分法

由方程 $F(x,y) = 0$ 确定的隐函数 $y = y(x)$ ：
导数公式： $y'= -\frac{F'_x}{F'_y}$
由方程 $F(x,y,z) = 0$ 确定的隐函数 $z = z(x,y)$ ：
若 $F(x,y,z)$ 在点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 的某一邻域内有连续偏导数，且 $F(x_0,y_0,z_0) = 0$ , $F'_z(x_0,y_0,z_0) \neq 0$ ，则方程 $F(x,y,z) = 0$ 在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 的某邻域可唯一确定一个有连续偏导数的函数 $z = z(x,y)$ ，并有：
- $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F'_x}{F'_z}$
- $\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F'_y}{F'_z}$

多元函数的极值和最值

无约束极值

定义：若在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内恒成立不等式
$f(x,y) \leq f(x_0,y_0)$ （或 $f(x,y) \geq f(x_0,y_0)$ ），
则称 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 取得极大值（或极小值），点 $(x_0,y_0)$ 称为 $f$ 的极大值点（或极小值点）。极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。

极值的必要条件：
设 $z = f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 存在偏导数，且 $(x_0,y_0)$ 为 $f(x,y)$ 的极值点，则
$f'_x(x_0,y_0) = 0$ ， $f'_y(x_0,y_0) = 0$ 。

极值的充分条件：
设 $z = f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内有二阶连续偏导数，且 $f'_x(x_0,y_0) = f'_y(x_0,y_0) = 0$ 。记
$A = f''_{xx}(x_0,y_0)$ ， $B = f''_{xy}(x_0,y_0)$ ， $C = f''_{yy}(x_0,y_0)$ ，则：

当 AC - B^2 > 0 时，有极值：
- 若 $A > 0$ ，则 $f(x_0,y_0)$ 为极小值；
- 若 $A < 0$ ，则 $f(x_0,y_0)$ 为极大值。
当 $AC - B^2 < 0$ 时，无极值。
当 $AC - B^2 = 0$ 时，需用定义进一步判定。

条件极值与拉格朗日乘数法

单个约束条件下的条件极值（函数 $f(x,y)$ 在条件 $\varphi(x,y)=0$ 下）
构造拉格朗日函数：
$F(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda\varphi(x,y)$
联立方程组求解可能极值点：

\begin{cases} F'_x = f'_x(x,y) + \lambda\varphi'_x(x,y) = 0, \\ F'_y = f'_y(x,y) + \lambda\varphi'_y(x,y) = 0, \\ F'_\lambda = \varphi(x,y) = 0. \end{cases}

两个约束条件下的条件极值（函数 $f(x,y,z)$ 在条件 $\varphi(x,y,z)=0$ , $\psi(x,y,z)=0$ 下）
构造拉格朗日函数：
$F(x,y,z,\lambda,\mu) = f(x,y,z) + \lambda\varphi(x,y,z) + \mu\psi(x,y,z)$

最大最小值

求连续函数 $f(x,y)$ 在有界闭域 $D$ 上的最大最小值步骤：

求 $f(x,y)$ 在 $D$ 内部的可能极值点（利用无约束极值的必要条件与充分条件）；
求 $f(x,y)$ 在 $D$ 的边界上的最大最小值（通常转化为条件极值问题）；
比较上述所有点的函数值，确定最大值与最小值。

应用题：结合实际问题建立目标函数与约束条件，按上述步骤求解实际场景中的最值问题。

二重积分

二重积分的概念及性质

概念

定义 1：设函数 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上有界，二重积分定义为：

\iint_D f(x,y) \, d\sigma = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i, y_i) \Delta \sigma_i

其中 $\lambda$ 为各小区域直径的最大值， $\Delta \sigma_i$ 为第 $i$ 个小区域的面积。

几何意义：当 $z = f(x,y) \geq 0$ 时，二重积分 $\iint_D f(x,y) \, d\sigma$ 表示以曲面 $z = f(x,y)$ 为顶、区域 $D$ 为底的曲顶柱体体积。特别地，若 $f(x,y) = 1$ ，则 $\iint_D 1 \, d\sigma = S$ （ $S$ 为区域 $D$ 的面积）。

性质

性质 1（不等式性质）：

若在 $D$ 上 $f(x,y) \leq g(x,y)$ ，则 $\iint_D f(x,y) \, d\sigma \leq \iint_D g(x,y) \, d\sigma$ ；
若在 $D$ 上 $m \leq f(x,y) \leq M$ ，且 $S$ 为 $D$ 的面积，则 $mS \leq \iint_D f(x,y) \, d\sigma \leq MS$ ；
绝对值不等式： $\left| \iint_D f(x,y) \, d\sigma \right| \leq \iint_D |f(x,y)| \, d\sigma$ 。

性质 2（中值定理）：
设函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上连续， $S$ 为 $D$ 的面积，则在 $D$ 上至少存在一点 $(\xi, \eta)$ ，使得：

\iint_D f(x,y) \, d\sigma = f(\xi, \eta) \cdot S

二重积分的计算

1. 利用直角坐标计算

累次积分法：将二重积分转化为两次定积分（累次积分）计算，积分顺序需结合积分区域 $D$ 的形状确定。

先 $y$ 后 $x$ （适用于 $D$ 为 $X$ -型区域： $a \leq x \leq b$ , $\varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)$ ）：

\iint_D f(x,y) \, d\sigma = \int_a^b \left[ \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y) \, dy \right] dx

先 $x$ 后 $y$ （适用于 $D$ 为 $Y$ -型区域： $c \leq y \leq d$ , $\psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y)$ ）：

\iint_D f(x,y) \, d\sigma = \int_c^d \left[ \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y) \, dx \right] dy

2. 利用极坐标计算

坐标变换： $x = \rho \cos\theta$ , $y = \rho \sin\theta$ ，面积元素 $d\sigma = \rho \, d\rho d\theta$ 。

先 $\rho$ 后 $\theta$ （适用于 $D$ 为极坐标下的扇形区域： $\alpha \leq \theta \leq \beta$ , $\varphi_1(\theta) \leq \rho \leq \varphi_2(\theta)$ ）：

\iint_D f(x,y) \, d\sigma = \int_\alpha^\beta \left[ \int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)} f(\rho \cos\theta, \rho \sin\theta) \cdot \rho \right] d\rho d\theta

【注】适合用极坐标计算的二重积分特征

被积函数：含 $f(x^2 + y^2)$ 、 $f\left(\frac{y}{x}\right)$ 、 $f\left(\frac{x}{y}\right)$ 等形式（可简化为仅含 $\rho$ 或 $\theta$ 的函数）；
积分区域：圆形、扇形、圆环（如 $x^2 + y^2 \leq R^2$ 、 $r^2 \leq x^2 + y^2 \leq R^2$ 、 $x^2 + y^2 \leq 2ax$ 、 $x^2 + y^2 \leq 2by$ 等）。

3. 利用对称性和奇偶性计算

对称区域与被积函数奇偶性的结合可简化二重积分计算：

积分域 $D$ 关于 $y$ 轴对称：

\iint_D f(x,y) \, d\sigma = \begin{cases} 2 \iint_{D_{x \geq 0}} f(x,y) \, d\sigma, & \text{若 } f(-x,y) = f(x,y) \, (\text{关于 } x \text{ 为偶函数}), \\ 0, & \text{若 } f(-x,y) = -f(x,y) \, (\text{关于 } x \text{ 为奇函数}). \end{cases}

其中 $D_{x \geq 0}$ 为 $D$ 在 $x \geq 0$ 的部分。

积分域 $D$ 关于 $x$ 轴对称：

\iint_D f(x,y) \, d\sigma = \begin{cases} 2 \iint_{D_{y \geq 0}} f(x,y) \, d\sigma, & \text{若 } f(x,-y) = f(x,y) \, (\text{关于 } y \text{ 为偶函数}), \\ 0, & \text{若 } f(x,-y) = -f(x,y) \, (\text{关于 } y \text{ 为奇函数}). \end{cases}

其中 $D_{y \geq 0}$ 为 $D$ 在 $y \geq 0$ 的部分。

4. 利用变量对称性计算

若积分域 $D$ 关于直线 $y = x$ 对称，则被积函数中的 $x$ 与 $y$ 可互换，积分值不变：

\iint_D f(x,y) \, d\sigma = \iint_D f(y,x) \, d\sigma

适用场景：当被积函数满足 $f(x,y) = f(y,x)$ 或需通过变量替换简化表达式时（如 $f(x,y) = x^2 + y^2$ 、 $f(x,y) = \frac{x}{x+y}$ 等）。